Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Мы интересуемся движениями, для которых КА не покидает достаточно малую
окрестность точки L2. Будем поэтому считать малыми величинами, причем
малыми первого порядка.. Гамильтониан (5.10) содержит еще один малый
параметр - эксцентриситет е орбиты Луны. Его считаем величиной первого
порядка малости. Дальнейшие преобразования основаны на предполагаемой
малости величин | х | и е. Поэтому целесообразно представить гамильтониан
в виде суммы
оо
#= S Ят, где Йт- |х|т.
171=2
Функции Нт можно представить в виде рядов по степеням эксцентриситета е
ОО
Вт = S ekcoskv/?(m\ (5.16)
к=о
где Н(т не зависят от е и v. Обозначим
(1 + p)m+1 ' Р
А _-1 ~-Г-• + ~±~ . (5.17)
лт - /4 1 "\т+1 1 nm+l
Используя выражение для гамильтониана (5.10) и формулы (5.11)- (5.15),
нетрудно показать, что функции Й^т имеют следующий вид:
11*
284
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Lj
[ГЛ. 14
при ТП = 2
М0) = 11 р |2 - А215 |2Р2 (^-) - (дШрМ - gOpd)), (5.18)
Я^"" = (- {At I q |2 Рг (^р) + j I ?|2} ; (5.19)
при 171 2
tf W = (_ l)m+ft+l^m | ~ rpm . (5.20)
Используемый нами метод состоит в нахождении нормальной формы
гамильтониана (5.10) и соответствующего нормализующего преобразования.
Общее решение системы, описываемой функцией Гамильтона, имеющей
нормальную форму, может быть найдено в замкнутом виде. Зная нормализующее
преобразование и преобразование, обратное ему, легко получить
приближенные значения начальных координат и компонент вектора скорости,
реализующих интересующие нас движения, близкие Ьг.
Нормальную форму гамильтониана (5.10) можно в принципе получить в сколь
угодно высоком приближении относительно малых параметров. Мы ограничимся
получением решения с точностью до величин третьего порядка малости
относительно начальных значений координат q({) и импульсов p(i> и
величины эксцентриситета е. Для этого нормальную форму гамильтониана
следует получить с точностью до величин четвертого порядка малости
включительно. Это означает, что при нормализации квадратичной части Я2
гамильтониана (5.10) надо учесть степени эксцентриситета до второй
включительно; при нормализации членов третьего порядка Я3 - до первой
степени е, а при нормализации совокупности членов четвертого порядка Я4
величиной эксцентриситета можно пренебречь. Формы Ят Для т > 5 также
можно не рассматривать.
5.2. Нормализация квадратичной части гамильтониана. Для получения
нормальной формы функции Гамильтона (5.10) и соответствующего
нормализующего преобразования надо сначала произвести нормализацию
квадратичной части Я2. Последовательность действий будет такой: 1)
нормализация Я2°\ 2) исключение из гамильтониана Я2 членов,
пропорциональных е, 3) исключение членов, пропорциональных е2.
Проведем нормализацию Я20>. Для переменных д(3), р(3) нормализующая
замена переменных имеет вид
?'<", р<з) = уГъ р'Ю. (5.21)
У ^3
Нахождение канонического нормализующего преобразования для переменных дФ,
p(i) (i = 1, 2), соответствующих плоской задаче,
ё 5J
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
285
g( 1) q'i 1)
gW = B" q'( 2)
pW p'( 1)
p( 2) p* 2)
более сложно. После проведения некоторых вычислений (см. работу [39])
получим, что преобразование <7(i\ рО) -> p'(i)
(i = 1, 2), приводящее к нормальной форме часть гамильтониана ff2\
соответствующую плоской задаче, имеет вид
(5.22)
где элементы btj симплектической матрицы В0 вычисляются по следующим
формулам:
Ьц = - хх [Я4 -f- (А2 - 1)1, Ь12 = - 2Х2Я.2, Ьхз = - Ьц, Ъц = О,
*2х - 2х4Ях, Ъ22 = 0, &2з = *2ii *24 = - ^2 [Я2 -f- (2А2 -|-
1)],
*31 = - х4Ях [Я* + {А2 + 1)1" *зг = 0" *33 == *3i!
*34 = Х2[Я2 - (2 А2 -f- 1)],
*41 = к4 [Я4 - (Л2 - 1 )Ij *42 = Х2Я2 [Я2 -f- (2А2
*43 - - *41! *44 = 0.
1)1,
(5.23)
В (5.23) введены такие обозначения:
1
Хх =
х2 =
V2Ях 1(3 Jk - 4) я? + (3А2 + 4) (А2 - 1)]
1
Vh [(ЗЯ2 + 4) %1 + (3М - 4) (2А2 + 1)] '
После проведения преобразований (5.21) и (5.22) нужно при помощи
канонической, 2я-периодической по v, линейной замены переменных q', р' ->
q", р" исключить из гамильтониана Н2 члены, содержащие эксцентриситет е с
точностью до второй степени включительно. Нахождение этого преобразования
совершенно аналогично соответствующим рассмотрениям глав 9 и 10, где
подробно описана нормализация функции Гамильтона в окрестности
треугольной точки либрации. Поэтому мы не будем здесь проводить подробных
вычислений, а сразу приведем конечный результат. Замену переменных q', р'
-> q", р" можно представить в виде
?/(D
?'(2)
0Л1)
= [Е4 е (sin vBx cos vB2) +
+ e2 (B3 -f- sin 2vB4 -f cos 2vB5)]
2"(i)
jAD
D"d)
n*W
(5.24)
28.6
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 14
?/(3)
"-(3)
= [Е2 + е (sin vCx + cos vC2) +
+ e2 (C3 + sin 2vC4 + cos 2vC5)]
?"(3)
,"(3)
(5.25)
Здесь E4 и E2 - единичные матрицы соответственно четвертого и второго
порядков, В,? и Ск (к = 1, 2, . . 5) - постоянные
матрицы также четвертого и второго порядков. Нормализованная до членов
порядка е2 включительно квадратичная часть функции Гамильтона Hz имеет
