Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
состоят в следующем [144]. Сначала найдем полный интеграл S (х, у, аъ а2,
т) уравнения Гамильтона - Якоби, соответствующего "невозмущенному"
гамильтону R0. Полный интеграл S и соотношения dSldat = рг (аг, рг -
const) дают решение х = х0 (осг, рь т), у = г/о ("г, Рг, т), рх = рхо
(аг, рг, т), ру = = руо (а,-, рг, т). Для исследования "возмущенного"
движения (т. е. движения, описываемого полной функцией Гамильтона (2.1))
делаем замену переменных х, у, рх ру аь а2, р1( р2 при помощи формул х =
х0, у = у о, рх = рХо, ру = pvНовый гамильтониан R имеет вид
R == R -f- -f- R% + Rs + Ri>
где функции Ri (i = 1, 2, 3, 4) выражены через аг, рг.
Затем к системе с функцией Гамильтона R применяем теорию возмущений
Депри-Хори, описанную в главе 11. В результате получим функцию
Гамильтона, содержащую только долгопериодические члены. Сделав затем
несложное каноническое преобразование, можно из гамильтониана исключить
независимую переменную т.
В новых переменных искомые периодические движения соответствуют
положениям равновесия. Так как независимая переменная теперь явно не
входит в функцию Гамильтона, то нахождение положений равновесия и
исследование их устойчивости не представляют больших трудностей.
И, наконец, для представления периодических движений в исходной системе
координат Ь^ху надо сделать несколько канонических преобразований,
обратных описанным выше.
Для осуществления намеченной схемы исследования удобно предварительно
сделать каноническое преобразование, приводящее гамильтониан R0 к
нормальной форме. Характеристическое уравнение, соответствующее этому
гамильтониану, имеет вид
^ + (1-|(tm)^2 + ^(1-1*)(1 + т)2 = а (зл)
Это уравнение имеет две пары чисто мнимых корней ±гсо1(
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА
257
± ico2, где
(Оз. = 0,949313, <в2 = 0,300684.
Следовательно, "невозмущенное" движение устойчиво. Теперь при помощи
линейного канонического преобразования введем переменные qt, pt так,
чтобы в этих переменных невозмущенный гамильтониан принял нормальную
форму, а сами переменные qi, имели нулевой порядок относительно т, что
позволяет ввести в новый гамильтониан малый параметр т в явном виде.
Искомая замена переменных такова:
(3.2)
X Qi
У = А Qi
Рх Pi
Ру Рг
где матрица А имеет вид [144]
о о
А =
|к+ь>
- 2/CjCOj - 2^2^2
-2) -6-2) к1к\(д1 к%х\(r)г
-sr*1
к\
СО]
h
COj; 1
- Г) С02 1
(3.3)
В (3.3) введены следуюпще обозначения:
3 (. , тг\ , 9 с.
3 /л | гга2\ , 9 (л , лга\ 31^3 ТТ /. mz\
ks =
(i = 1, 2).
Новый гамильтониан Н - Rim2. Его квадратичная часть Н0 выглядит следующим
образом:
Но - + "&?) ~~2~(р1 + ^гЯг)-
(3.4)
Для решения уравнений, соответствующих невозмущенному гамильтониану Н0,
удобно ввести канонические переменные действие a i и угол рг по формулам
Яг = (- l)i+1 |/^sin Pi, Pi == (- 1)W У cos pi (i = 1, 2).
(3.5)
9 А. П. Маркеев
258
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 13
В переменных аг, рг гамильтониан Н" примет вид
#" - <*>iai - со2а2.
Следовательно,
ий яТт л(tm) аТт
(3.6)
(3.7)
Решение этих уравнений записывается так:
Рг = "хт + рь аг =
"iT + plt ttl = аъ
(c)2^ "Ь 625 [И2 = 0^2)
(3.8)
Р2 = - ю2т + р2,
где аг, Рг - константы интегрирования. Это как раз те постоянные, которые
содержатся в решении невозмущенных уравнений, получаемом из уравнения
Гамильтона - Якоби, соответствующе-
Теперь, согласно плану исследования, намеченному в начале этого
параграфа, примем щ, рг за новые канонические переменные. Гамильтониан Н,
описывающий изменение переменных аг, Рг в возмущенной задаче, будет
таким:
a Rn - функции из разложения (2.1), в которых переменные х, у, рх, ру
заменены через ah рг при помощи формул (3.2), (3.3), (3.5) и (3.8), Нп =
О (1). Явные выражения для Нп выписаны в работе Кэмила [144].
Уравнения движения, соответствующие гамильтониану (3.9), имеют вид
где
(3.9)
ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ГАМИЛЬТОНИАНА
259
§ 4. Долгопериодическая часть гамильтониана и исключение независимой
переменной
Теперь нужно выполнить следующий весьма громоздкий шаг исследования. При
помощи метода Депри - Хори нужно сделать каноническую замену переменных
аг,рг -*¦ аг, рг. При этом используются уравнения (4.25) и (4.27) главы
11. Из этих уравнений функции Wn находятся такими, чтобы исключить из
нового гамильтониана К все короткопериодические члены. В переменных at,
рг новый гамильтониан К будет содержать долгопериодические члены с
частотами к"! - <os, (ох - 3<о2, Ш1 - юе и их комбинациями.
Наличие двух "внешних" частот <bs и сое приводит к довольно сложным
дифференциальным уравнениям упрощенной системы с гамильтонианом К. В
работе [144] сделана попытка исключить все члены с частотой сое.
Оказалось, что это можно сделать, так как процедура их исключения не
приводит к появлению больших по величине коэффициентов в производящей
функции W преобразования аг, рг -*¦ аг, Р;. Следует еще добавить, что при
получении нового гамильтониана К из-за громоздкости проводимых вычислений
