Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
функции Гамильтона (2.1) по следующим формулам. Обозначим через и
yVlv2a^2 следующие десять пар
вещественных величин:
*0030= ^0030 Г ^2010! УООЗО = - +020 -----------------7 +ооо>
со2 Ш1 со^
1 7 3 7 Т. I ^
#1020= 2 ^1020 -^?"'3000? У1020 = ~2~ Т~ 2(й[ 2010 '
(1)2 7 . 1 7 | (1)2 7 1" (0-2 7 1^1"
#0120= ~~2 0021"' 1110~'_2со^ ?/0120=-2^0120-^2^ 1011_Г^2 SIO0'
*1011 = - м1+021-~+00Ъ 2/1011 = ^+120 + ~~+100>
*0021= "+120- - +011------------;+100> УоС21= +021+ ГГТГ+110-2 +001>
ш2 011 gi2gi( "i"^ со2
*1002= --^^1002+^^12001 2/1002 =-у ^0012+
+ ^fe°21°'hi fell01>
11 111
*0012= -+01гН-------Г+210- --+101t У0012= ~+111-- +002 H---------------
+13001
CO2 W1W2 °>2 W1 01,012
012 , 1 , , 1 ,
*0111- ~"1002 + "'1200ч у0111- -- (r)2"0012 - "0210,
0)^2 U>2
C02 , 3 , _ 3fl>2 , , 1 .
*0201- 4 +102-'4^ +Э00> У0201-----4" "0003+ -4""0201>
*0003=-7-+М2Н о+зоо> 2/оооз=--+оозН " +201- (2-4)
2 01" CO2
По этим десяти парам xVlV2,ll(i2, yv^^i, вычисляются соответствующие
коэффициенты +Л>2ц,ц2 из (2.3):
+1V2H1B1 = *ViV2|li|l2 + +V"V2|ll|l2- (2.5)
Остальные десять коэффициентов формы третьей степени
в (2.3) вычисляются по формулам
' / сол^'1~'?1 /С02>\ -V2
^Hi|l*ViV* (2/viV2M'iM'2 + ^ЛЧУгМ^Цг) ( 2*) \~2/ (^'^0
Применив преобразование Биркгофа gj, pj -> gj, pj, уничтожим в функции
Гамильтона все члены третьей степени, кроме резонансных. В новых
переменных гамильтониан станет таким:
Н = йо^р' + кo2q'2pl + hm2qlpl2 + h'(awq'22pl + . . . (2.7)
72 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 1ГЛ. 4
Будем считать, что xlm + у1ш ф 0. Выполним еще несколько канонических
преобразований. Во-первых, вернемся к вещественным переменным,
сделав каноническое преобразование
чт -> Ш
Ч[ = г4=- (7i - ipi), q{ = -L- (iqt - &),
1 I Vj"! Vm {2 S)
p"i = ПТ (- + Pi)' P2 = Hp (?" - *ft)-
Во-вторых, введем полярные координаты гг, ф; при помощи канонической
замены переменных
4i = V2г, sin (фу - 0У), ру = j/-2г,- cos (фу - 0у) (7 = 1, 2), (2.9)
где 02 = 0, а 0Х определяется из соотношений
sin 0х = - j- yi°°2 - , cos 01 = ~-=^~==
V х1002 "Ь ^1002 ' *1002 "Ь ^1002 •
В полярных координатах функция Гамильтона имеет вид Н = 2evi - -
У со2 (х1ш + у^) г2 УТХ sin (фх + 2ф2) +
+ Я(гу, фу), (2.10)
где R имеет период 2я по фу и R - О ((гг + г2)2).
Теорема. Если гамильтониан возмущенного движения таков, что arfoog -j-
у\ш ф 0, то положение равновесия неустойчиво. Если же Zi002 -f- у\ш = 0,
а с20 + 2си + 4с02 Ф 0, то имеет место устойчивость по Ляпунову.
Для доказательства неустойчивости сначала при помощи интеграла Н = const
понизим порядок системы на две единицы [90]. Для доказательства
неустойчивости положения равновесия достаточно показать его
неустойчивость хотя бы на одном уровне энергии Н - const. Рассмотрим
уровень Н = 0. Из уравнения Н = 0 при достаточно малых гх и г2 получаем
гг = ~ К = у г2 + VloJ 1-гУГ^8т(ф1 + 2Фа) +
+ 0(г|). (2.11)
Мы получили, таким образом, каноническую систему с одной степенью свободы
и с функцией Гамильтона К. Новой независимой переменной является угловая
переменная фх.
Введем вместо переменных г2, ф2 новые переменные г, ф по формулам
, 1
Г = Г2, Ф - ф2 у ф1-
РЕЗОНАНС 6>i - ЗШз
73
Тогда получаем систему с такой функцией Гамильтона:
К = - 4^ ^2(0П^002 + 2/1002) r У7*(tm) 2(Р + 0 И- (2-12)
Из уравнений движения системы с гамильтонианом (2.10) следует, что при
малых гг и г2 угловая переменная будет монотонно возрастающей функцией
времени t. Поэтому в задаче об устойчивости переменная <px может играть
ту же роль, что и время.
Чтобы показать неустойчивость, воспользуемся теоремой Ляпунова о
неустойчивости. Функцию Ляпунова V возьмем в виде
F = r/Fcos2(p. (2.13)
Ясно, что V является знакопеременной функцией. Для ее производной
получаем такое выражение:
Ж = J(2.14)
Функция (2.14) определенно-положительная в окрестности начала координат.
Следовательно, согласно теореме Ляпунова, имеет место неустойчивость.
Пусть теперь xl002 -f- Vi002 = 0. Тогда в гамильтониане (2.7)
" "2 , "2 "
отсутствуют резонансные члены h1002gip2 и К210Я2 Ри о функцию Гамильтона,
несмотря на наличие соизмеримости со! = 2со2, при помощи преобразования
Биркгофа можно привести к виду (1.5). И тогда выполнение условия (1.4)
теоремы Арнольда -Мозера гарантирует устойчивость. Таким образом, при
условии х1ш +
+ У1002 = 0 и с20 | 2cu -f- 4с02 Ф 0 положение равновесия
устой-
чиво. Теорема доказана.
§ 3. Устойчивость при резонансе <й1=3(c)2
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия системы
(1.1) при наличии резонанса четвертого порядка
о)! == Зсо2. Эта задача изучена в работах [53, 55].
Выпишем сначала нужные для решения задачи об устойчивости коэффициенты
/^,У2ц,ц2 при членах четвертого порядка в гамильтониане (2.3):
/^2020 =-2 h*ooo - ~2 ^20201
^liii = + 7777 ^2200 + ~ ^0220 + ~ ^2002" (3-1)
12 и>2 Ш j_
h0202 - "2" (r)2^0004 -^5 /^0400 - ~2 ^02021
74 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
+003 = "1003 + ?"1003,
где
+ЗЮ = - 4^-("юоз - ?"юоз),
