Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
| т1 | + | тщ | + . . . -Ь | тп | = Ат (к = 1, 2). (1-5)
В случае автономной системы знак ф 0 (mod 1) в (1.4) надо заменить на
знак Ф 0.
В системе (1.1) сделаем каноническую замену переменных
Чь Р%-* 4iPi ПРИ помощи формул
= + Pi-Pi + щ; (i = l,2,.(1.6>
/
где вещественную однородную третьей степени по qt, р, функцию S 3 (дь pi,
t) попытаемся подобрать так, чтобы она была 2я-периоди-ческой по t, а в
новых переменных р, функция Гамильтона не содержала бы членов третьего
порядка относительно q\, р^ Функция II3 может быть записана в виде
#3= 2 Ч Мпй1 • • • 9ппР?' • • • Pln' (1л>
Vi+...+Рп^З
где коэффициенты AVl либо постоянны, либо 2я-перио-
дичныпо t. Величины vx, . . ., рп - целые неотрицательные числа. Функцию
S3 ищем в виде, аналогичном (1.7):
S3= J. sv.......кпЧ• • ¦ ¦ ¦ • Рпп' (1-8)
Vj+...-Hin=3
где подлежащие выбору коэффициенты sVl либо постоянны (если постоянны
коэффициенты fev,,..., [%), либо 2я-периодич-
ныпо t (если 2я-периодичны по t коэффициенты ftv,..
Соотношения (1.6), рассматриваемые как уравнения относитель-по qu Pi (i =
1, 2, . .. , п), показывают, что величины qx, pt-
(на основании теоремы о неявной функции) при достаточно малых
Яи Pi (*= 2, • . ., п) будут аналитическими функциями в окрест-
ности начала координат qi = р\ - 0. Отсюда следует, что
, dSz(q\, Pi, t) , , , SS^ql, р[, t)
qi = qi --------------1"--- = --------------(-•••, 1-9)
°Рг dq-x
где невыписанные члены имеют порядок выше второго относительно q\, р\.
54 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
Новый гамильтониан Н' {q\, р\, t) вычисляется по формуле [16]
dS,(qx, pf, t)
H' = H(qvpvt)+ , (1.10)
где правая часть формулы (1.10) выражается через qi, р\ по формулам
канонической замены переменных (1.9). Подставив (1.2), (1.3) и (1.9) в
правую часть (1.10), получим
н'=4- L1<"?+w+X, ¦°> {pi w ~ ж)+
3 = 1 3 = 1 з 1
+ H3(q'vP:,t) + ^+... (1.11)
В (1.11) S3 - S3 (ql, pi, t), а невыписанные члены имеют порядок, не
меньший четвертого относительно q\, р\.
Чтобы в функции Гамильтона Н' не содержалось членов третьего порядка ql,
р[, нужно потребовать выполнения следующего тождества:
V1 I - dS3 , dSs\ . гт / - < , 95з(?о Pi,t)
Я3+Я,(д,, Pv t) + m = 0.
j=1 \ b p(1Л2)
Чтобы из (1.12) найти коэффициенты sVl ^"функции S 3, удобно
перейти к комплексным переменным. Положим
Mj = д'3 + щ, v. = q. - ip. (/=1,2,..., п). (1.13)
Здесь через i обозначена мнимая единица (i2 - -1).
Нетрудно проверить, что тождество (1.12) в комплексно сопряженных
переменных Uj, Vj перепишется в виде
П
i
3 = 1
где
о . е из"г 3 i j . t
О3 - ( о " oi > 1
2 i
Введем обозначения
Ч4^т?-')= X ч f(1.15)
vl+-+^n=3
aj + vj и}
"-Г...":-*'(1-15)
2i ____
Vj+...-HJ-^з
§ II ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИРКГОФА 55
Здесь gVl, . . . ,ihi и /у" . . . , цп - комплексные коэффициенты,
которые связаны с коэффициентами hv,, . . . , и sVt, . . . , ^ при помощи
линейной системы алгебраических уравнений с невырожденной матрицей.
Приравнивая в тождестве (1.14) нулю коэффициент при ul\ . . uf1. . .
получим линейное дифференциальное уравнение для нахождения /Vl,...,
dU ... U
^-- + i [<^1 (И-i- Vi) + ... + crn(pn- vn)] .......
(1.17)
Пусть исходная функция Гамильтона (1.2) не зависит от времени. Тогда
вместо дифференциального уравнения (1.17), для нахождения /у, tin получим
алгебраическое уравнение
- Vj) + • • • + <т" (ц-n - vn)]/Vl, . . . , р(tm) = igVl, ^. (1.18)
Справедливы следующие соотношения:
IЩ ~ Vi | + . . . + | р," - vn | < рх -f vx -I-. . . + pn + vn = 3.
(1.19)
Таким образом, если величины alt. . . , о" не связаны резонансными
соотношениями до третьего порядка включительно, т. е. если
т1а1 -|- . . . + тпап Ф 0 при 0 < | тх | + . . . + | пгп |< 3, (1.20) то,
выбрав величины /v" согласно формулам
f =_________tgvi' _________
Ч МИа - Vi)+...+ 3n(pn- Vn) '
получим новую функцию Гамильтона Н' такой, что в ней будут отсутствовать
члены третьего порядка по q/, pt'.
Если в (1.16) будет сделана замена переменных, обратная (1.13), то придем
к вещественной замене переменных (1.9).
Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи канонической
замены переменных уничтожить члены четвертой степени в гамильтониане.
Это, однако, не удастся сделать, и в новом гамильтониане останутся
некоторые члены, имеющие вполне определенную структуру.
Если величины аъ. . . , огп не удовлетворяют ни одному и" резонансных
соотношений до четвертого порядка включительно, т. е.
т1а1 + . . . + тпоп Ф 0 при 0< ] и"! | -f . . . + |тп|< 4, (1.21)
то в гамильтониане Нц можно уничтожить все одночлены четвертого порядка,
кроме тех, которые содержат uj и Vj в одина-
56 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
новых степенях. Действительно, уравнение (1.18) неразрешимо, если |хк =
v,c (к - 1, 2, . . . , п). Тогда в
Нл
ui~vi\ 2i )
Ul 2
останется совокупность одночленов вида
2 gv v v v (UiVi)Vi...{unVnfn. (1.22)
vl+-+vn=2 1... n 1... n
В переменных q/,p/ эта совокупность одночленов в //4' имеет вид
2 Ч а" (<г + Р'г'Г• • • (?п + рУь (1 -23)
