Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
а1+...+ап=2
где аа1, . . . , ап - вещественные величины.
И, вообще, для автономной гамильтоновой системы справедливо следующее
утверждение. Если частоты колебаний а} линейной системы не связаны
резонансными соотношениями до порядка N включительно, т. е.
т1а1 + .. . + тпап ф 0при0 < | т11 + . . . + |тп|< N, (1.24)
то существует вещественное каноническое преобразование qt - - qi + • • •
, Pi - Pi + . • • /задаваемое сходящимися в окрестности начала координат
рядами, такое, что функция Гамильтона
(1.2), выраженная через q't, p't, имеет нормальную форму
Н (ql, pi) = Н (г1; . . . , rn) f Я (qi, pi), (1.25)
где Я - многочлен степени [NI2] относительно гх,. . . , гп и Я -
сходящийся ряд по степеням qi, pi, начинающийся с членов порядка N + 1:
ql = У 2r{ sin фь р{ - У 2гг cos <рг (г - 1, 2,. . ., /г). (1.2б)
Это утверждение нетрудно доказать методом математической индукции.
Отметим, что постоянные коэффициенты многочлена Я (гъ... ..., гп) не
зависят от порядка Я нормализованных членов и от способа приведения
функции (1.2) к нормальной форме (1.25): они являются инвариантами
гамильтониана (1.2) относительно канонических преобразований [11, 12,
29].
Для случая 2я-периодической по t функции Гамильтона (1.2) результаты
аналогичны. Существование 2я-периодического решения уравнения вида (1.17)
было нами уже подробно исследовано (см. уравнение (7.12) второй главы).
Выводы, которые получаются в этом случае, аналогичны только что
сформулированным для случая автономной системы. Только в (1.24) знак Ф 0
надо заменить
ТЕОРЕМА МОЗЕРА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ КРИВЫХ
57
на знак ф 0 (mod 1), а нормализующее преобразование и функция В будут 2я-
периодическими по t.
Если величины таковы, что условия (1.24) выполняются при любых сколь
угодно больших N, то преобразование Биркгофа можно применить для
нормализации функции Гамильтона во всех порядках. И тогда нормализованный
гамильтониан будет зависеть только от переменных г;- (у = 1,2,. . . , п),
которые будут интегралами преобразованной системы. Но каноническое
преобразование Биркгофа, нормализующее гамильтониан во всех порядках,
будет, как правило, расходящимся [11, 12, 29, 30]. Поэтому и интегралы г
у будут формальными, т. е. они представляются в виде расходящихся рядов
по qt, pt.
В дальнейшем мы обычно будем проводить нормализацию функции Гамильтона
лишь до конечного (и даже сравнительно невысокого) порядка. Так что, как
правило, применяемое нами преобразование Биркгофа будет аналитическим.
§ 2. Теорема Мозера об инвариантных кривых
В этом параграфе рассмотрим одну геометрическую теорему Мозера [72, 73],
существенную для дальнейшего. Эта теорема относится к отображениям
плоского кольца, сохраняющим площадь. Приведем формулировку теоремы
Мозера. Пусть задано преобразование действительных переменных 0, р -> 0Х,
рх:
01 = 0 +у[а(р) +Е(р, б)], pi =р +т?(р" б)- (2.1)
Это преобразование определено в кольце 0<а<;р^б(б - а > 1), но не
обязательно отображает его в себя. В отображении (2.1) у - постоянный
положительный параметр, не превосходящий единицы. Пусть отображение (2.1)
обладает свойствами:
1) любая замкнутая кривая р = / (0) = / (0 -f 2я), близкая к окружности
(т. е. f (0) мала), пересекается со своим образом;
2) для некоторой постоянной с0 ]> 1
3) функции F и G, имеющие непрерывные производные до порядка I (I = 333)
включительно, удовлетворяют для некоторого положительного б = б (е, с0)
(б -> 0 при е 0) неравенствам
m* -HG|0<S, |а|"+ |Е|, +|С|,<с0,
где норма | F определяется равенством
дт,+тгр е)
dpm'dQm'
(переменные р, 0 изменяются в области определения F (р, 0)).
I Р |к = sup
тг + /п2 "ч *
58
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
1ГЛ. 3
В теореме Мозера утверждается, что при выполнении условий
1) - 3) для каждого со такого, что
а(а)]+ е< Y<a(fc) - е,
| лсо - 2пт | > у&п-Ч1 (гп, п - целые числа, п Ф 0), существует
инвариантная при отображении (2.1) кривая с (со), которая в
параметрической форме имеет вид
0=0* +Р(0'), Р=Ро+<?(0'),
гДе I Р li +1 Q |i < в- Преобразование, индуцированное на инвариантной
кривой, задается равенством 0/ = 0' + Ya(po)> где Ya (р о) = Функции F,
G, р, q имеют период 2я по угловым переменным.
Таким образом, теорема Мозера об отображении (2.1) устанавливает
существование бесконечного числа инвариантных кривых, лежащих в кольце 0
< а ^ р <; Ъ. Этими инвариантными кривыми кольцо 0 <С а р Ъ разбивается
на бесконечное число колец, отображающихся при помощи (2.1) на себя, и,
следовательно, образы всех точек, лежащих внутри этих колец,
ограничиваются при всех итерациях отображения (2.1). Для дальнейшего
полезно отметить, что условие теоремы Мозера о пересечении кривой и ее
образа, очевидно, выполнено, если отображение (2.1) сохраняет площадь.
§ 3. Теорема Арнольда-Мозера об устойчивости гамильтоновой системы с
одной степенвю свободы в общем эллиптическом случае
Рассмотрим гамильтонову систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dx дН dy дН ,, ,,
