Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
"1003 = - (r)1+013 + "^5+300 - 2^ +302-----------------~J+211>
СО, , 1 , . 1 , . (О, ,
"1003 - ¦- 2^ 0112 ------2 +003 + "1201 + "0310-
(3.1)
(3.2)
При помощи преобразования Биркгофа в гамильтониане (2.3) можно уничтожить
все члены третьей степени, а из членов четвертой степени останутся
резонансные и содержащие только произведения qjpj. Нормализованная до
членов четвертого порядка функция Гамильтона будет иметь следующий вид:
Я = uotflpl + uo2qlpl - с20 (qip'i)2 + cu (qipl) (qlpl) -
n " // "3 >/3 "
- "02 (Я2Р2)2 + hw>3QiPz + +10+ Pi + • • • (3-3)
Величины c20, cu, c02 вещественны, a l1003 и ?0310 можно записать в виде
W2 О
?1003 = *1003 + ?//1003, ?0310 =---J2~ (*1003 - ?2/1003)- (3.4)
Формулы для расчета коэффициентов нормальной формы (3.3) через
коэффициенты исходного гамильтониана (2.1) таковы:
"20 = - +020 g~ м2 (*оозо + 2/позо) - ~2 (*Ю20 + 2/1020) -
То" ^"с(r)120 З/0120) + ~2 (*1он + 2/ion) +
(*0021 + 2/0021),
"11 = +111 - "з" (*1002 + 2/1002) + "Jq- (r)2 (*0012 + 2/0012) ------------
------------
Г? (°2 (^0021 + 2/0021) 5~ (*0120 + 2/0120) + 2
(*0111*1020 + 2/oill2/l02o)
-^¦(*02012/1011 +*10112/0201), (3-5)
С02 = - +202 + ~g~ (r)2 (*0003 + 2/0003) Н 2 (*0201 + 2/020l)
W2
g (*1002 + 2/1002) у (*0111 + 2/0111) 4Q" 0)2 (*0012 +
2/0012),
9 1
*1003 = "1003 g" (*0120*0012 + 2/01202/0012) - ¦^¦(*10022/1011 +
*10112/1002) +
4t 3
+ -ir (*1002*0201 + 2/10022/0201) + "o' (*0003*0111 + 2/оооз2/ош)> (3.6)
CO2 ^
§ 3] РЕЗОНАНС ш,-3ш2 75
2/1003 - У1003 g (Я<)12о2/О012 - ^00122/0120)- (2/10112/1002 -
х1011Х1й02) +
4 3
4 5" (^02012/1002- -^10022/0201) + "о" (^ош2/оооз - -гоооз2/от)- (3-
6)
"г ^
Выражения для и г/\-1\-2ц^2 приведены в предыдущем
параграфе. Отметим, что формулы (3.5) выписаны специально для случая
резонанса (щ = Зсо2. Выражения для сц при произвольных со! и со2 можно
найти, например, в [37] или [55].
Пусть *U + г/1003 =4= 0. Произведя тогда канонические преобразования
(2.8) и (2.9), где теперь
sin 0Х =------------------ . cos 0х ------Xl003
' Х1003 ^1003 ^ Х1003 + ^1003
получим нормализованный гамильтониан в полярных координатах
Я = 3(02Г*! - СО 2Г2 + С20Г1 + СПГ]Г2 + С02г2 +
+ 4- (r)2 Уз (х1ш + 2/1003К У~г\ъ cos (фх + Зф2) + О {{гг + г,)ея).
(3.7)
Введем обозначения
" = с20 + Зси + 9с02, Ъ = Зсо2 Vх\тз + у\ш. (3.8)
Теорема. Если гамильтониан возмущенного движения таков, что | а | < Ь, то
положение равновесия неустойчиво', если же | а | Ъ, то имеет место
устойчивость по Ляпунову.
Для доказательства неустойчивости, как и в предыдущем параграфе,
рассмотрим движение на уровне Я = 0. При достаточно малых 7i и г2 из
уравнения Я = 0 получаем
1 1
П = -3 г2 - 27^-г2 [" + bcos (Ф1 -Ь-Зф2)] + Я (г2, ф2, фх),
где функция Я имеет период 2я по фх и ф2, Я = О (г2/2).
Уравнения движения на уровне Я = 0 имеют вид
rfr2 _ дК дф2 _ дК
d<Pi к3ф2 ' Зф! дг2 '
где
1 1
К = - -g-r2 + -г2 [а + 5cos (фх + Зф2)] - Я (г2, ф2, фх).
В переменных ф = ф2 + 1/зф1, г2 = г гамильтониан К имеет вид
К==ш;г2(а + Ьс05 3ф) + Ki (г> ф. Ф1). (3-9)
76
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[ГЛ. 4
где Кг имеет период 2я по ф и фх, Кг = О (г5/2). Чтобы показать
неустойчивость при выполнении неравенства | а | <С Ъ, воспользуемся
теоремой Ляпунова о неустойчивости. В рассматриваемом случае вопрос
разрешается функцией
V = г2 sin Зф. (3.10)
Вычисляя производную этой функции в силу уравнений движения с
гамильтонианом (3.9), получаем
= ^{й 008 Зф + Ь) + ° (г7/2)' (3'И)
При выполнении неравенства | а | < Ъ функция (3.11), очевидно" будет
знакоопределенной. А так как функция Ляпунова V - знакопеременная, то
отсюда и следует неустойчивость.
Пусть теперь | а | Ъ. Докажем устойчивость положения равновесия при
выполнении этого неравенства. В тривиальном случае 6 = 0 устойчивость
следует из теоремы Арнольда - Мозера, так как нормализованная до членов
четвертого порядка функция Гамильтона (3.7) при Ъ = 0 не содержит
тригонометрических членов, а условие | а | 0 означает выполнение
неравенства
(1.4). Случай Ъ =/= 0 более сложен. Для доказательства устойчивости снова
используем интеграл Н = h = const и сведем систему с двумя степенями
свободы к системе с одной степенью свободы, но с 2я-периодической
зависимостью новой функции Гамильтона от новой независимой переменной. В
отличие от задачи о неустойчивости, здесь недостаточно рассмотрения
только одного уровня энергии Н = h (например, 6 = 0, как было в
рассмотренных выше случаях). В задаче об устойчивости необходимо
рассматривать хотя и малый, но конечный интервал изменения постоянной h в
окрестности нуля. Поэтому функция Гамильтона системы с одной степенью
свободы, к которой редуцируется исходная система с двумя степенями
свободы, будет зависеть от величины h как от параметра. Предполагая, что
движение изучается в достаточно малой окрестности начала координат (г} -
е, 0 е 1), будем считать h малой величиной, порядок которой не меньше,
чем, например, е2у~ё. Тогда, разрешая уравнение H=k относительно г2,
