Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
определения с
sin 2пХ-х% (2я)<? = 1. (4.11)
Легко проверить, рассмотрев характеристическое уравнение, что величина
sin 2лХ-х2 (2я) Ф 0, так как устойчивость исследуется внутри области
устойчивости линеаризованной системы (3.1). Выбором знака Я (который до
сих пор был не определенным) эту величину можно получить положительной.
Поэтому уравнение
(4.11) всегда имеет вещественное решение относительно с.
Таким образом, искомое каноническое преобразование найдено, и в
переменных q, р функция Гамильтона такова:
ОО
(4Л2)
к-з
где
= 21 fcviv,(*)7v,PVl==i 21 Ove-,(0(zaP -Zig)v'(z4P -z3g)v'.
Vi+Vi=lc Vi+v,=k
62 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
§ 5. Неустойчивость в случае целого числа ЗА
К функции Гамильтона (4.12) теперь легко применить преобразование
Биркгофа. Введем канонические переменные q*, р* при помощи 2я-
периодической по t, производящей функции
S = qp* + S(s)==qp*+ J 4v,(0<7v'P*v'- (5.1)
Vl+V>=3
Связь новых и старых переменных получается из формул
* dS . dS<3) dS * , dS(3) оч
q - dp* - q + dp* ' P ~~ dq ~ P' + dq '
Новая функция Гамильтона H* (q*, р*, t), старая функция Гамильтона Н (q,
р, t) и производящая функция S (q, р*, t) связаны тождеством относительно
q, р*;
Если число ЗА не будет целым, то в новой функции Гамильтона можно
полностью уничтожить члены третьей степени. Проведя несложные выкладки,
получим, что для этого 2я-периодические функции sv,v, (t) следует взять
такими:
*30 = 2 (М;о + ип), s03 = 2 (иж - vn),
"и = 2 (и' - 30, зи = - 2 (Зу* + v' );
21 30/J ' 30 1 21'
, = WOsin К (V* - Vx) t + gVtV2 (t) cos A (v2 - Vx) t, . = /**(0cos k (v3
- vi)1 - WOsin k (v2 - Vi) t;
(5.4)
(5.5)
/v,v, (0 = у ctg яА (v2 - Vi) Jx (2я) + Y /2 (2я) - /2 (t), gw,(t) = -
V!)/2(2n) +уЛ(2я) - Л(0,
t
Jr (t) = 5 [h"iV2 (as) cos A (v2 - vx) ж - v'Wt (x) sin A (v2 - vt) x]
dxy 0 f
/2 (0 = 5 Kiv, (x)sin k (Va - vi)ж + yv,v2 (*)cos 1 (v* - v0 x\dx;
0
1 "1
мзо = "8* ^30 - y30 = "8 ^°3 - hit),
"1 "1 <5-6>
M21 = -g- (3/^30 + hl2,), V21 ----g-(3/&03 + ^2l)-
Из тождества (5.3) при таком выборе Sполучаем члены четвертой
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В СЛУЧАЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА Зк
63
степени в виде
тт* , 1 - (dS(9)Y ЭЯ, Э5<3>
Ht(q,p - р ,t) + 2 Я у д<1 J \ Эр* / J Эр* dq '
(5.1)
Если ЗЯ = m (тп - целое число), то полностью Н3 уничтожить нельзя. Как
показывают простые вычисления, гамильтониан Н* в этом случае при помощи
преобразования Биркгофа можно привести к виду
Н* = Я (д*2 + р*г) + 2н* (q*3 - 3g*p*2) + 2^* (р*3 _ Зр*?*2) +
+ H'(q*,p*,t), (5.8)
где
Що = %зо cos rat - у30 sin rat, sin rat -f- у30 cos mt,
гп
Xs0 = 2xT \ (w30 cos mt + узо sin mt) dt'
0
2J*
У 30
~п ^ (У30 C0S - W30 S*Q dt,
2n
0
функция H' в (5.8) 2л-периодична no t и H' = О (( | q | + | р | )4).
Теорема. Если х%0 + ylo 0, то положение равновесия х = у = = 0 системы
(3.1) неустойчиво по Ляпунову.
Для доказательства отметим сначала тот очевидный факт, что задачи об
устойчивости относительно х, у в системе (3.1) и относительно q*, р* в
системе с гамильтонианом (5.8) эквивалентны. Далее, сделаем такую замену
переменных:
q* = ]/2r sin (Я? + ф - 0), р* - "|/2r cos (Яг + ф - 0),
* v (5.9)
sin 30 = -_?§2___ cos 30 = ¦ Уяп
VxL -i- yl Vxl> + y\
Изменение переменных г, ф будет описываться дифференциальными уравнениями
с функцией Гамильтона (г - импульс, ф - координата)
н = ЬУЩ^+У1)гУ7со8 3у + 0(г*). (5.10)
Возьмем функцию Ляпунова
V = rl/Fsin Зф. (5.11)
Ее производная в силу уравнений движения с функцией Гамильтона (5.10)
будет такой:
dV
= 181/2 (xl + у*) г2 + О (г'Л). (5.12)
64 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
Так как функция V - знакопеременная, а ее производная (5.12) -
определенно-положительная в окрестности начала координат, то, согласно
теореме Ляпунова о неустойчивости, положение равновесия неустойчиво.
§ 6. Исследование устойчивости в случае целого числа 4Я
Если число ЗЯ не будет целым, то в переменных q*, р* гамильтониан
запишется в виде
Н = Я* + Н* + . . .,
где Н* вычисляется по формулам (5.4) - (5.7). Пусть 4Я = т. Делая замену
переменных q*, р* -*-q,p с производящей функцией
S = д*р + ?№,
можно упростить члены четвертой степени в новой функции Гамильтона В,
которая, как показывают выкладки, будет при этом иметь вид
В = J я (q2 + р2) + ^ С2 (q2 + р2)2 + м40 (q4 - б?2?2 + Р4) -
- 4?4о7Р(72 - Р2) + B"(q, p,t), (6.1)
где Н" - О ((| q j + | р |)6) и имеет период 2я по t. В (6.1) введены
следующие обозначения:
2 Я
сг = ^ (ЗА4о + А22 + ЗАс4) dt,
о
гг40 = я40 cos mt - у40 sin mt, vAQ = yi0 cos mt + :r40 sin mt, (6.2)
2Я
x40 = ^ (M"0cosm^ -j- v*Qsin mt)dt,
о
2Я
2/40 = W ^ Ко cos mt ~ u"m sin mt) dt'
0
M40 = "g" (^40 ^22 + ^04)> y40 = "g" (^13 - ^3l)-
Если x40 + y40 0, то можно перейти к переменным г, <р по
формулам, аналогичным формулам (5.9). Получим
в = Г2 (с2 + 62 cos 4<р) + ? (г, ф, t), (6.3)
где b2 - AVх\0 + у!,, а функция К = О (г'Ь) и периодична по ф и ? с
периодами 2 я и 8я соответственно.
§ 6] УСТОЙЧИВОСТЬ В СЛУЧАЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА 4Я. 65
