Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
dt ду ' dt дх \ • )
Пусть начало координат х = у = 0 является положением равновесия этой
системы, а функция Гамильтона Н - аналитическая в окрестности х = у - 0 и
2я-периодична по t:
оо
Н=ЪНк (х, у, t), #*=2] avfl v, (t) зУф,
(С=2 Vi+Vz=fc
a\t, vz (P "Ь 2я) = aVu V2 (t). (3.2)
В (3.2) VjHVj- целые неотрицательные числа, v, (t)- непрерывные функции
t.
Рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия х - у - 0.
Предположим, что линеаризованная система устойчива,
ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
59
а ее характеристические показатели + ik таковы, что величина кк не будет
целым числом при к = 1, 2, . . . , 2п(п - произвольное целое число).
Тогда при помощи преобразования Биркгофа можно выбрать такие координаты и
импульсы х, у, что функция Гамильтона (3.2) запишется в виде
Н = кг + (у2 + . . . + cnrn + Н' (х, у, t) (2г = х2 + у2). (3.3)
Здесь Н' - аналитическая относительно х, у функция, имеющая по х, у
порядок, не меньший, чем 2п 4-1. Кроме того, Н' 2л-пе-риодична по t.
Общим эллиптическим случаем называют случай, когда среди постоянных с2).
. . , с" есть отличная от нуля. Согласно Арнольду и Мозеру [2, 3, 72], в
общем эллиптическом случае положение равновесия х = у = 0 системы (3.1)
устойчиво по Ляпунову.
Если число кк будет целым, то, вообще говоря, функцию Гамильтона (3.2) в
виде (3.3) записать нельзя, а положение равновесия может быть
неустойчивым. Ниже будет исследована задача об устойчивости в резонансных
случаях, когда число кк - целое при к ^ 3. Многие частные случаи
неустойчивости в этой задаче рассмотрены в работах Леви-Чивита [151],
Зигеля [28], Мермана [71], Каменкова [31], Мустахишева [74]. Основной
результат проведенного в этой главе исследования состоит в утверждении об
устойчивости (при выполнении некоторого неравенства) в случае резонансов
четного порядка (число к - четное). Кроме того, при помощи второго метода
Ляпунова получены критерии неустойчивости при резонансах произвольного
порядка. При изложении мы в основном следуем работе [53].
§ 4. Линейная нормализация
Будем исследовать устойчивость положения равновесия системы (3.1) внутри
области устойчивости системы ее первого (линейного) приближения. Это
означает, что число 2к,- нецелое. Для дальнейшего потребуется
вещественное, каноническое, 2я-перио-дическое по t, линейное по х, у
преобразование х, у -> q, р гамильтониана (3.2) к такой форме, когда его
квадратичная часть имеет вид
Н2 = ±-к(д2 + р2).
Задача нормализации линейной гамильтоновой системы с п степенями свободы
рассмотрены в главе 2. Нормализация системы с одной степенью свободы
особенно проста и будет здесь проведена способом, отличным от изложенного
во второй главе.
Линеаризованная система (3.1) имеет два линейно независимых решения
Щ = Ф; (t) е"*, Рj = ф, (*) **? (; = 1, 2), (4.1)
60
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[ГЛ. 3
где Aj = - А2 = - А., а периодические функции ф/, удовлетворяют следующей
системе дифференциальных уравнений:
Очевидно, что если начальные значения фх, фг будут комплексно
сопряженными соответственно с начальными значениями <р2, ф2, то в силу
однородности системы (4.2) эти функции будут комплексно сопряженными и
при всех t. Тогда можно положить
где zk - вещественные периодические функции t. Согласно (4.2), они
удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
Далее, нетрудно проверить, что линеаризованная система (3.1) имеет два
независимых интеграла
Это преобразование будет каноническим (но не обязательно унива-лентным),
так как функции zk удовлетворяют соотношению
в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.
Выберем начальные значения функций zk так, чтобы начальные значения
функций <рь фх и <р2, ф2 были комплексно сопряженными, а постоянная в
правой части (4.7) равнялась единице (для унивалентности канонического
преобразования (4.6)).
(4.2)
<Pl - *1 -Ь *z2> "Фх - z3 lz4"
Фа == Фи 'Фа = Фъ
(4.3)
(4.4)
(и + iv)e~iU, (и - iv)em (и = z3x - zxy, v = %цх - z2y).
(4.5)
Введем новые переменные q, р формулами
q - V, р - и.
(4.6)
Z2Z3 - 2xZt = COnSt,
(4.7)
5 41 ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 61
Обозначим через х} (t), yj (t) (j - 1, 2) решения линеаризованной системы
(3.1), удовлетворяющие условиям
xi (0) = Уг (0) = 1, х2 (0) = Ух (0) = 0.
Тогда начальные значения функций фу, фу найдутся из следующих систем
уравнений:
[хх (2а) - /гяЬ'] ф, (0) + х2 (2я) фу (0) = 0,
Ух (2я) фу (0) + [у2 (2я) - elWKi] фу (0) = О
(/ = 1, 2). (4.8)
Определители этих систем равны нулю, так как ewXi - мультипликаторы
линеаризованной системы (3.1). Решения систем (4.8) можно записать в виде
ф; (0) = -хг (2я)су,
Ь (0) = 1хх (2я) - e(tm)K']ch
(^-9)
где су - произвольные постоянные. Возьмем их вещественными и равными с.
Тогда фх (D) = Фг (0), фх (0) = ф2 (0). Из (4.3) и
(4.9) получаем начальные значения функций zy
zx (0) = - хг (2я)с, z2 (0)= 0,
z3 (0) = [хх (2я) - cos 2яЯ]с, z4 (0) = sin 2яЯ-с.
Полагая постоянную в (4.7) равной единице, получаем уравнение для
