Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
функция (4.8) приведется к виду (обозначения для переменных снова не
меняем)
н = - (ql + ql) + (r) (qiPi - qzPi) + (pi + pi) [A (pi + p\) +
В (4.9) не выписаны члены выше четвертого порядка и введены следующие
обозначения:
Сц- ?1111 + 4 (к9, 8- К8, в+ К4, з- Из, 4) + 2 (и6) 5 - И5,6+ И2,1- Hi,
2),
(4.8)
+ в (qiPz - q%Pi) + с (?i + ?2)] + • • • (4-9)
A - ^2002"
&2002 = ?2002 + 3 (h9, 10 - Ию, 9) + 2 (и2, a - Щ, 2) + Щ, e -
ив, з>
^2on = 2/2011 - бню, 8 - 4из, i + 2н6,2 + 2h9, 9 + h2, 2
- ^5, з>
^1102 = 2/2011 - 6и8, io - 4i>i, 3 + 2h2, в + 2h9, 9 + h2, 2
- v3, 6,
c20 - ^2020 - 9ию, 7 + 4и6, 1 + Hi, g + K9, 8 - И5, 2 - Щ, 3)
v1,./ - + /1 ?/. ? Vi, j - "iUi
ег = Q2/1 + Q2?2 - 2Q32/3, e2 = Qy% + 2Q2?3,
,7 = 1,2,..., 10), Q = cd\ /1 = - Охг + Q2y2 + 2Q3?3,
/2 = - Q?2 + 2Q22/3,
e3 = ^2/з
/3 = - Q?3,
et = Q2/4 - (% - ?5) +
/4 = - Q?4 - Q2 (2/1 - 2/s) -
+ 2Q3 (2/2 - 2/e) + 604?3,
- 2Q3 (?2 - ?6) + 6Q4y3,
2л:6) ~Ь 4032/з,
§ 4]
е5 = Ог/5 - Q2 (х2 е6 == Qj/g - 02хз,
е7 = ^2/' + Т" ^2<г8 -
- -w - Yf
СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ
83
"8 = 4- a2/s + 4- П- ^32/м,
/в = - &г5 - 0%2 - 2у6)- - 4Q3a:
/6 = - Qx6 - 02г/3,
/7 = з~ ^7 + "д- &УВ +
+ -w°^"-w
/в - ¦- '
- №ую,
-5- Ох8 -f- -Q- П27/9 +
От/о + -к- 02ж:
10"
Н д- ^3;СХ0>
/в = о~ Н Q- Q?yi0i
"10 - "о- QyiO-l
3
Xi = xtl2V2,
/42010 - ^1101 + ^0210;
д ^-^10!
*
Xi
/l0
7/4 = 2/?/2К2 (? = 1,2.................10),
/42001 --^1110 ^0201 >
X:>
2 h
1020
2h
1002 >
%3 - --------- 3/l0030 -¦ ^0012?
Хц = ЗЛ3000 -f- Л12001 xb = 2/j2oio ~b 2/io2io>
= /11020 - /41002 т hi
0111 >
*
2/i
2/г = - 2/10120 ¦ 2/ioio2i
Уз - ^0021 ЗЛ0ООЗ1
2/4 = ^2100 4~ ЗЛоЗОО"
2/s = 2Л2001 + 2/io20i5
II* - h-----------h- I h
x* -Л3000 ^1200i
x;
X*
2/* - ^1011 - ht 2/? = /42100 - Ы
0120
h2
42010 ------ '4101 ¦
/41020 ------ ^1002 "
' ^0210i
^Ollli
yt = h..
2it = h
2001
hi
0030
h
0012i
У1
1011
40021
0300!
- /illlO ¦ /ifll'20 '
/40003-
0102i
' /40201! /401021
(4.10)
Прежде чем сформулировать теорему об устойчивости системы (1.1) в случае,
когда матрица линейной ее части не приводится к диагональному виду,
введем согласно [157] понятие формальной устойчивости.
Решение = yt = 0 (i = 1, 2, . . ., п) системы
dXi .......................... (" = 1,2,..., re),
dt
дН ду; '
dVj
dt
дН
dx.
где H-2я-периодическая по t, аналитическая по
11
Хщ 2/i>---
. . уп функция, называется формально устойчивым, если существует
степенной ряд G, возможно расходящийся, который формально является
определенно-положительным интегралом с периодом
84 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
2л по t. Иными словами, все коэффициенты, степенного ряда
Y1 I dG
Ь dxi dyi dyt дхг ' dt i=l
тождественно равны нулю, а конечное число форм наименьшей степени в ряде
G представляет собой определенно-положительную функцию хи . . хп, г/i, -
- уп-
Теорема. Если в нормальной форме (4.9) А 0, то положение равновесия = р{
= 0 (г = 1, 2) системы (1.1) формально устойчиво; если же А < 0, то имеет
место неустойчивость по Ляпунову.
Можно показать, что при помощи бесконечного числа шагов преобразования
Биркгофа (возможно, расходящегося) функцию Гамильтона (4.9) можно
привести к виду
Н = -у (q\ + q\) -f- со (qp2 - q^Pi) +
+ (Pi + pt) [ A (p\ -)- pi) -f- В (qiPz - Я2Р1) + С (ql -f- 32)] +
OO
+ Yj ha^ (Г1 + Pl)a' - ?2Pl)"S- (4.11)
ai+a2+as=3
Каноническая система с гамильтонианом (4.11) имеет два формальных
интеграла Н - const и qp2 - 92Р1 - const. Следовательно, выражение G = Н
- со (qp2 - q^Pi) также будет формальным интегралом системы с
гамильтонианом (4.11). А так как при 4^0 в разложении
= -)-(?6 -(-... -j- G%m -f- ...
функция
Ga -f- ?4 = -у (qt + q2) -f-
+ (pt + pt) [A {p\ -f- pt) -f- В {qp2 - ?2Pi) + С {qt + (?!)]
будет определенно-положительной функцией своих переменных Яъ ?2, Pi, Р2,
т0 отсюда следует формальная устойчивость положения равновесия.
Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой Ляпунова о
неустойчивости. За функцию Ляпунова примем знакопеременную функцию
V - 4lPl 4* Я2р2-
Ее производная, составленная в силу уравнений движения с гамильтонианом
(4.9), будет такой:
"rtf - - (Pi + Ч2) + 4A (pt + pi)2 + 2В (pt -f pi) (Я1Р2 Q2P1) + •
• •"
(4.12)
СЛУЧАЯ с;0о2 +CiiWift)2 + Co2fti^-• О
85
где не выписаны члены, порядок которых не меньше пятого относительно qu
pi (i = 1,2). Функция (4.12) при А 0 будет определенно-отрицательной.
Таким образом, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова о
неустойчивости, и, следовательно, положение равновесия = р\ = 0 (i = 1,
2) системы
(1.1) неустойчиво.
§ 5. Исследование устойчивости
при с20(r)| + Сц0>х(02 + С02(0^ - О
Исследуем теперь устойчивость положения равновесия системы (1:1), когда
не выполняется условие (1.4) теоремы Арнольда - Мозера. Сначала
рассмотрим пример (см. [57]), показывающий, что при невыполнении этого
условия устойчивость положения рав новесия может быть разрушена членами
сколь угодно высокого порядка в разложении функции Гамильтона (1.2).
