Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Формальная устойчивость. Теорема Брюно
В этом параграфе рассмотрим некоторые результаты, полученные при
исследовании формальной устойчивости гамильтоновых систем. Определение
формальной устойчивости было приведено в § 4 четвертой главы. Понятие
формальной устойчивости является очень важным при исследовании
устойчивости на конечном (но очень большом) интервале времени. Наличие
формальной устойчивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если
она существует) не обнаруживается при учете в разложении функции
Гамильтона членов до сколь угодно большого (но конечного) порядка
относительно координат и импульсов возмущенного движения.
При наличии формальной устойчивости, если и существуют траектории, далеко
уходящие от невозмущенного движения, то движение по ним происходит крайне
медленно. Соответствующие оценки получены в работах Зигеля [28], Мозера
[158, 159], Глим-ма [138]. Для решения вопроса об устойчивости в
большинстве
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
9f
физических задач, описываемых гамильтоновыми дифференциальными
уравнениями, формальной устойчивости вполне достаточно. Следует заметить
также, что из устойчивости по Ляпунову, очевидно, следует формальная
устойчивость. Обратное утверждение не доказано, но, во всяком случае,
пока не известно ни одного примера гамильтоновой системы, которая бы была
формальна устойчива и в то же время была неустойчива по Ляпунову.
Приведем некоторые условия формальной устойчивости. Пусть рассматривается
гамильтонова система
dXi ян dy- ян
ЧГ = -Щ у=1,2,(2.1)
где Н - аналитическая функция относительно Xj, у7- и 2я-перио-дическая по
t. Разложение Н в степенной ряд начинается с квадратичных членов. Если
мультипликаторы линеаризованной системы (2.1) различны и имеют модули,
равные единице, то система
(2.1) устойчива в первом приближении, а функция Гамильтона Н в подходящим
образом выбранных координатах (см. § 5 главы 2) может быть записана в
виде
П
Н - -g- Xj (а:| + у!) + Нз -f- + ... , (2-2)
3=1
где Xj - вещественные числа, Нт - однородные многочлены степени т
относительно xj, yj, зависящие 2я-периодическим образом от времени. В
статье [157] Мозер показал, что если
п П
2 nijXj ф 0 (mod 1) для целых > 0, 21тз^>0" (2-3).
3=1 3=1
то нелинейная система (2.1) формально устойчива.
Условие (2.3) является довольно слабым, так как в нем не используется
информация о нелинейных членах в уравнениях (2.1), а ограничения на
величины Xj весьма сильные. Но пусть теперь величины Xj таковы, что
П
^rrijXj^ 0 (modi) для целых то3, 0 Iт) I ^ 4. (2.4)
3=1
Тогда существует каноническая замена переменных х}, у j -q}, pj,
задаваемая преобразованием Биркгофа, такая, что новый гамильтониан есть
П
Н = (X, Г) -f ^ (r)fc, тГJcrm ~Ь Нз -(-... (2.5)
Jc, т=1
2о = ?з ~Ь Ph Хт = (Хх,. . ., Хп),
ГТ ~ (ГИ • • ч rn) 1 (X, г) = Ххгх Хпгп.
92 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
В работе [158] Мозер для случая п = 1 доказал формальную устойчивость,
если в (2.5) аХ1 ф 0. Для произвольного п Глимм [138] доказал формальную
устойчивость при условии, что квадра-
П
тичная форма 23 ак, тгкгт является знакоопределенной. В статье
к,т =1
Брюно [13] доказана следующая теорема, которая содержит все указанные
выше результаты.
Теорема. Если у системы (2.1) выполнено условие (2.4) и в записи
(2.5): |
П
IS ак, mlkfrn Ф 0 (2-6)
к, m=1
при векторе 1Т = (/х, . . ., 1п) Ф 0 и принадлежащем пересечению
квадранта mj 0 и линейной оболочки множества, образованного всеми
целочисленными векторами с компонентами, являющимися решениями уравнения
П
21 т1;Хк = 0 (modi), (2.7)
Й=1
то положение равновесия хк = ук - 0 (к = 1, . . ., п) системы
(2.1) формально устойчиво.
Если в системе (2.1) Н не зависит от ?, то формулировка ре зультатов
отличается от приведенной выше тем, что в условиях
(2.3), (2.4) и (2.7) вместо ф 0 и = 0 (mod 1) надо написать Ф 0 и = 0
соответственно.
Приведем доказательство теоремы Брюно. Для удобства доказательства
перейдем, как и в [13], к комплексно сопряженным переменным
Ч = Ч + 1Ук, Ч = - iyk (к = 1,2, . п).
Система (2.1) перейдет при этом в систему
= ^ ^ = {к - 1,2,..., п), (2.8)
которая является канонической с гамильтонианом
п
2iH = i 21 %kzkzk -]-... (2.9)
к-1
Разложение гамильтониана (2.9) запишем в такой форме:
2^ = 23^,!^,
где kT = (*x,. . .,кп), 1Т = (1г,. . , In)- векторы с целочисленными
неотрицательными компонентами, a z1 = zx,. . ., znn; кроме того, gktl (t
+ 2л) = gkll (t) = - g i,k (t).
§ 2] ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 93
Имеет место следующее утверждение 1157].
Лемма. Существует формальная каноническая замена переменных Xjyj -а-
|уг)^ такая, что (2.8) переходит в
T=-2if- (2.10)
гЗе ?; = i; + it];, = I, - т]7- - вещественные величи-
ны, а формальный степенной ряд
2?Г = S V*. = i S W + • • • (2.11)
It, i 3=1
содержит только такие члены, для которых
(М-к ) = N, (2.12)
где N - целое число и, следовательно, вектор 1 - к
является решением уравнения (2.7). Коэффициенты не
зависят от t.
