Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
^02107
s0111 = 2 (Когю - W0012),
^0012 = Уош - У0012 - У021О! s1101 = 2 (У0012 - У0210)!
$0120 = WlOll - Що2\ - И200Х, S2100 = ^0021 Н~ М2001 ~Ь
^ЮШ
s200i = У1011 + У0021 + Угооц soo2i = Уюы - У0021 - Угоо1>
s1011 = 2 (н2001 - Mo02l)j s1110 = 2 (^0021 - У2001);
"vivriij!, = g (t) sin a^t + / (г) cos a^t, (4.6)
= g (г) COS Oy^t - f (t) sin g (t) = ctg navyJx (2я) + /2 (2я) - 2/2 (t),
f (t) = Ix (2я) - ctg ящц/г (2я) - 21 х (*),
<
1\ (t) - ^ (WviVfUijii COS йуцХ - Г\'Л'гЦ1(Д2 sin ЯхцХ) dx,
0
(
Ii(t) - ^ (м\А'г|Х1Цг sin ОуцХ -f- 1\'Д'2Р1Д2 COS Clx)1x) dx\
0
/ 1 ' 1
w000:i = g (^0300 ^0102)) У0003 = ~g~ (^020 L ^0003)1
t 1 ' 1
M0102 = g (^0102 -f- ЗЛозоо), УоЮ2 = ~~g~ (fo<)20l 3Aooo3),
'1 '1 МО03П = -5- (^3000 ^1020)1 У008О - "o_(^2010 - ^0030)7
100 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
HX020 ~ 1 8 (^1020 ~Ь ЗАзооо)) y1020 = 1 8 '
(A2010 + 13Aoo3o)i
H0XXX = 1 4 ¦ (A1200 Ч- ^1002)1 ^0111 - 1 4
•(^0012 4~ ^0210) i
MOOX2 = 1 8 • (^1200 - ^1002 - ^oxxx)> y0012 = 1 8
¦(Й0210 - ^00X2 + ^XX0x)>
Moaio 1 8 • (^1200 - A1002 + ^om), ^0*10 = 1 8 (&02X0 -
^0012 - ^lXOl),
M1011 = 1 4 ¦ (Й2100 + ^0x20)1 У1011 = 1 4 (^20"X 4~
^002l)i
W0021 - 1 8 • (^2X00 - hono - ^loll), y002X = 1 8
(A2OOX - Ao02X + ^XXXo)>
M200X == 1 8 ' (^2100 A0120 H- ^1011) > y2001 = 1 8
•(^400X - ^0021 -' ^IXXo)-
(4.7)
Если же величина aV(X равняется целому числу т при vx + -f- V2 -f- (Ai
[X2 = 3, то полностью функцию H*s уничтожить нельзя, но ее можно привести
к нормальной форме, отражающей резонансный характер задачи. И в новых
переменных qf, р* функция Гамильтона запишется в виде
н* = -f:К (qf + pf) +4- я* (qf + pf) + н*г+о ((г, + г#)*).
Выражения для Hs в случаях (1) - (4), определенных в (4.3), будут
соответственно такими:
(1) Н* = 2u*30(qf - 3q*pf) - 2vl30 (pf - Zptqf),
(2) H* = 2utoos (qf ~ 3qtpf) ~ 2у*ооз (pf ~ 3plqf),
(3) H* = - 2u* u [qt (pf - qf) + 2 ptqtpt] - (4.8)
"1 ^ r / *2 d<2\ n % %
- ^0012 [a (?2 4%) - #2.^2 b
(4) Hi = - 2ii [qt (pf - qf) + 2piqipi\ -
- 2^*021 [Pt (pf ~ qf) ~ 2qiqtpi\.
В формулах (4.8) введены обозначения
wviv,niii"= •cviv,M.i(i, cos mt -f- yviv,n,n, sin mt,
^ViVtfiin, = ^Vivdiip, H" 2/viVdiijii cos mt,
2Я
5 (Mv,w, C0S mt - yv,v,№2 Sin "*)
гп (4.9)
Wa", = 2jT ^ "о**#, sin Ш cos m^)
§ 4| РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 101
Для каждого из резонансов (1) - (4) имеет место следующее утверждение.
Теорема. Если zJ,Vln,nt + i&v"n.n" Ф 0, то положение равновесия
неустойчиво.
Проведем доказательство для случая (1). После канонического
преобразования
qi * = YZrj sin (ф, -f- Kjt - 0), if = V2О cos (ф/ + M ~ (r))>
(4.10)
где
sin 30 = 030 , cos 30 = -^=======,
* ^0030 "b ^0030 * жоозо ^0030
функция Гамильтона примет вид
н* = -4V2 (xlozo + г/оозо) r^r\ sin Зфх + О {(гг + г2)2). (4.11)
Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой Четаева [95].
Функцию F возьмем в виде V = FXF2, где
У1 = г* - г1, V2 = гг Угг совбфл (а>2). (4.12)
За область F > 0 примем область (Fx]>0, -^ < фх <; ^ J.
На границе этой области либо Flt либо F2 равны нулю, а внутри области
выполняется равенство
г2 = рг?12 (0 < р < 1). (4.13)
Параметр а подберем так, чтобы производная функции F в силу уравнений
движения с гамильтонианом (4.11) была определенноположительной в области
F 0.
Легко проверить, что при 2 < а < 3 производная может быть представлена в
виде
S = 6 Козо+г4ш) Т* <[2а cos 3(pi + cos 6(P! +
+ 3 (1 - P2) [cos Зфх + зтЗфхзтбф! + /2]), (4.14)
где функции fx и /2 сколь угодно малы при гх, стремящемся к нулю. В
области F 0, как нетрудно проверить, выполняются неравенства
Y2
cos Зф! ]> -g- , cos Зф! + sin Зфх sin 6фх > 1.
Поэтому из (4.13) и (4.14) следует, что в области F ]> 0 в достаточной
близости к началу координат функция dV/dt будет определенно-
102 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
положительной и, согласно теореме Четаева, положение равновесия
неустойчиво.
В случае (3) после преобразования (4.10), где теперь
sin 3ft = Уом" _ т соя 30 = --*°°12
1/ Х1 I , .2 V X1 4- "2
' 0012 ~ "0012 ' 0012 I "0012
получим
Я* = - 4 у2 (^12 + У10Ш) r2 YTi sin (ф!+ 2ф2) + О ((rx+ г2)2). (4.15)
Неустойчивость положения равновесия доказывается при помощи функции
Четаева V = РХР2, где
Fi = г" - (г2 - 2Ti)2, F2 = г2 Кгх cos 2 (фх + 2ф2)
(2 < а < 3). (4.16)
Доказательства неустойчивости в случаях (2) и (4) аналогичны
доказательствам в случаях (1) и (3) соответственно.
§ 5. Об устойчивости неавтономной системы
с двумя степенями свободы
при резонансе четвертого порядка
Рассмотрим теперь задачу об устойчивости в случаях (5) - (9). Здесь
упрощенная при помощи преобразований, аналогичных преобразованиям
предыдущего параграфа, функция Гамильтона в полярных координатах имеет
следующий вид:
Я = с20гх + СцГ^а + с02г2 - В (rh ф{) + Я' (гг, фг, *). (5.1)
В (5.1) Я' = О ((г1 -{- r2)s/2), а функция В для случаев (5) - (9)
будет соответственно такой:
(5) й =У *оою + i/M40sin 4(Рь (6) в = у х*оом + yl0M sin 4ф2,
(7) В =Ka^+!^sm2(<p1+q>2), (8)Я=К^300+ 2/230Пз1п(ф1+Зф2),
