Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(1 3 \
ЗоАюоз + (r)^0112 H - ^1201 4 ^0310J i
¦ ^ 3(02fe00i3 -f- fe0211 ^1102 "H ^1300j • (4-2)
НЫ A - 2 i В - 2 V^ii2o ~b ^1120 и С
Ziio2 отличны от нуля. Определим углы 0ц 02 и соотношений
80 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 1ГЛ. 4
Тогда функцию Гамильтона (4.1) можно записать в следующем более
компактном виде:
Н = а (гt - r2) + c20r1 + спггг2 + с02г2 -Mrxr2 Sin 2 (фх + ф2 + 0Х) + +
Вщ Уrxr2 sin (фх + ф2 + 02) +
+ Cr2 Vгхг2 sin (фх+ ф2+ 03) + О ((гх+ г2)5'2). (4.3)
Как и в предыдущем параграфе, при помощи интеграла Н = h - = const
понизим порядок изучаемой системы на две единицы. Так как движение
рассматривается в достаточно малой окрестности начала координат, то можно
считать, что гх, г2 - е, где 0 < е <§J1. Кроме того, считаем, что h ~
е" (а ;> 5/2), что возможно, так как функция Н не является
знакоопределенной. Раз-
решив уравнение Н = h относительно г2, введя вместо фх новый угол ф = фх
+ ф2 + 0Х и обозначив еще гг через г, найдем, что полученной системе с
одной степенью свободы будет соответствовать функция Гамильтона
К = г2 (а + Ъ sin 2ф + с sin ф + d cos ф) + К* (г, ф, ф2, h),
(4.4)
где К* - 2я-периодическая по ф и новой независимой перемен-
ной ф2 функция, К* = О (г к) и
а =------- (с20 + Сц -)- Со2), с - - [В cos (0а-0i)+C cos (03-0Х)],
(4.5)
Ъ =------У A, d =---[В sin (02-0i) + С sin (03-0Х)].
Переменная ф2 - монотонная функция времени в достаточно малой окрестности
начала координат, поэтому она в задаче об устойчивости может играть роль
времени. Как видим, анализ совершенно аналогичен исследованию
устойчивости при резонансах сох = 2со2 и о)х = Зсо2, проведенному в
предыдущих параграфах. Теорема. Если функция
Ф (ф) = а + b sin 2ф + с sin ф + d cos ф
не обращается в нуль при вещественных ф, то положение равновесия
устойчиво по Ляпунову. Если же существует ф* такое, что ф (ф*) = 0, а
производная Ф' (ф*) ф 0, то положение равновесия qt = pi = 0 неустойчиво.
Доказательство устойчивости проводится, как в предыдущем параграфе.
Переменные I, W здесь вводятся при помощи производящей функции S вида
ф 2Я
мУ(r)(ф) J /(r)(ф)
СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ
81
Интеграл М существует при условиях теоремы. Положительности Ф (ф) можно
добиться изменением знака ф2 в гамильтониане (4.4).
Функция К -К* в переменных I, W равна Р. Дальнейшие
рассмотрения, как и в предыдущем параграфе, основаны на применении
теоремы Мозера об инвариантных кривых.
Теперь докажем неустойчивость. Заметим, что из периодичности функции Ф
(ф) и из того, что Ф' (ф*) =7^= 0, следует, что если уравнение Ф (ф) = 0
имеет вещественные корни, то их по крайней мере два, причем знаки
производной Ф' (ф) в точках ф, соответствующих корням, различны. Пусть
корень ф* такой, что Ф' (ф*) < < 0. Для доказательства неустойчивости
возьмем функцию Че4 таева V в виде
F = r2sm\)5, ф =-т^-(ф - ф* + б), (4.6)
где достаточно малое число б подберем так, чтобы в окрестности ф* - б < ф
< ф* + б не было других корней функции Ф (ф), а производная Ф' (ф)
сохраняла в этой окрестности знак. За область V 0 возьмем область ф* - б
< ф < ф* -(- а. Для производной функции V в силу уравнений движения с
гамильтонианом (4.4) получаем такое выражение:
= 2г3 |ф (ф) cos ф - Ф' (ф) sin ф} + (4.7)
а эта функция в области V 0 будет положительной, так как в области
7>0Ф,(ф)<0и втф> 0, а при ф* - б < ф < ф* функция Ф (ф) 0 и соэф 0, при
ф* < ф < ф* -(-б функ-
ция Ф (ф) < 0, но и совф < 0, причем выражение, стоящее в фигурных
скобках, пе обращается в нуль ни в области F > 0, ни на ее границе. Таким
образом, согласно теореме Четаева, имеет место неустойчивость.
Задача об устойчивости в случае, когда матрица линеаризованной системы
(1.1) не приводится к диагональной форме, значительно сложнее. Трудность
исследования состоит в том, что даже в линейном приближении переменные,
соответствующие разным степеням свободы, не разделяются. Поэтому не
удается свести исследуемую систему с двумя степенями свободы к системе с
одной степенью свободы, как это было в том случае, когда матрица линейной
части системы (1.1) приводилась к диагональной форме. Кроме того, весьма
существенно, что, в отличие от предыдущего случая и от всех исследованных
в этой главе случаев устойчивости, линеаризованная система (1.1)
неустойчива из-за наличия в общем решении слагаемых вида t sincoi. Учет
же нелинейных членов в уравнениях движения может привести как к
устойчивости, так и к неустойчивости полной системы [50].
82
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
В работах [86, 87] показано, что в рассматриваемом случае существует
вещественная линейная каноническая замена переменных, приводящая функцию
Гамильтона системы (1.1) к такому виду (обозначения для переменных
оставляем прежними):
Н = (ql + qt) + со (qiPi - q^Pi) + ^ fhtv^^qTq^Pi'Pi2-
При помощи преобразования Биркгофа в функции Гамильтона
(4.8) опять можно полностью уничтожить члены третьей степени, а
совокупность членов четвертой степени можно упростить. В результате
