Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(1.4) положение равновесия устойчиво по Ляпунову (в развернутом виде
неравенство (1.4) в случае п - 2 совпадает с условием
(1.4) теоремы Арнольда - Мозера, рассмотренной в предыдущей главе).
Ни одно из условий (1.3) и (1.4) не сводится к другому. Например, для
системы с функцией Гамильтона
имеем D2 = 0, a D3 = - 2((ох + со2)2 ф 0. В примере же, рассмотренном в §
5 главы 4,
для этой функции Гамильтона D3 = 0, ай2 = -(иа2 + &(0i)2 Ф 0, если асо2 +
бсох Ф 0.
Из устойчивости для большинства начальных условий вовсе не следует
устойчивость по Ляпунову. В статье Арнольда [5] построен пример
гамильтоновой системы, устойчивой для большинства начальных условий, но
неустойчивой по Ляпунову. Подобное- явление неустойчивости по Ляпунову
впоследствии [27] получило название диффузии Арнольда. В построенном в
статье [5] примере функция Гамильтона такова, что диффузия Арнольда очень
слабая: время, в течение которого г (t) находится вблизи г (0),
экспоненциально растет при линейном убывании возмущений.
Но диффузия Арнольда не обязательно всегда экспоненциальна. Она может
быть очень сильной. Примеров, подтверждающих этот факт, накопилось к
настоящему времени довольно много. Простейший пример - функция Гамильтона
(5.1) гл. 4. Приведем еще два примера. Первый [58] специально для случая
автономной системы с тремя степенями свободы
Н = со л - со 2г2 + со 3г3 + ггг3 - ггг2 + r2rs + Я(1> (г, ф),
#(о) - (0^ _ щ2Г2 -j- (rx -j. r2)a (ffll > о, (02 > 0; п - 2)
(1.5)
#(о) = (cox/i - to2r2) [1 + (агх + Ьг2)];
(1.6)
(1.7)
JJW = ггг2 Yгз sin (2фх + 2ф2 + ф3).
Предполагается, что со* 0 и имеет место резонансное соотношение 2(0! -
2со2 + со3 = 0. Условие (1.4) для системы с функцией
МЕТРИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
89
Гамильтона (1.7) выполнено, так как Dt - (сох + "г)2 Ф 0- Тем не менее,
положение равновесия гх= г% = г3 = 0 неустойчиво, что видно из
существования такого частного решения:
2<рх + 2фг + фз = я,
г3 (г) = -|- ri (0 = г2 (0 = Гз (°) С1 - б/-!7"*]-273. (1.8)
Из (1.8) видно, что за время порядка г$ш (0) траектория покидаег
окрестность точки, сколь угодно близко расположенной к началу координат в
начальный момент времени.
Второй пример для системы с двумя степенями свободы, но с явной
зависимостью функции Гамильтона от времени [59]:
Я = Vx + V2 - 24гх + 2гхгг + г\ + ИМ (г,[ ф, г),
(1.9)
НМ = |/7X r\ sin (фх + 4ф2 - Nt).
Величины %i в (1.9) связаны резонансным соотношением пятого-порядка + 4Я2
= N.
Ниже будет показана неустойчивость положения равновесия гх = г% = 0
системы (1.9). Но сначала сформулируем условия устойчивости для
большинства начальных данных в общем случае гамильтоновой системы с п
степенями свободы и периодической зависимостью функции Гамильтона от
времени. Пусть, функция НМ в гамильтониане (1.1) зависит от t. Введем
новый "импульс" гп+х и "угол" фп+х = t. Тогда получим автономную систему
с п + 1 степенями свободы. Гамильтониан имеет вид
П
Н = Х,хгх -{-...+ Кгп + Гп+1 + s ацг{г, + Я(1) (г, ф, t). (1.10)
", 3=1
Дифференциальные уравнения, соответствующие гамильтониану (1.10),
содержат в себе дифференциальные уравнения исходной задачи с
гамильтонианом (1.1). Для функции Гамильтона (1.10) неравенство (1.3)
всегда не выполнено, так как Dn+1 = 0 и, значит, условие устойчивости для
большинства начальных данных получается только из (1.4) и означает, как
легко проверить, выполнимость неравенства
del I 8ЗД"
dridrj
ф о, (1.11)
где НМ - функция, определенная равенством (1.2). Отсюда следует, что для
гамильтоновой системы с двумя степенями свободы и с периодической
зависимостью гамильтониана от t достаточным условием устойчивости для
большинства начальных условий
90
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
будет выполнимость следующего неравенства:
aS - "11^22 ф 0. (1.12)
Для функции Гамильтона (1.9) - а-цО-гг - 25 ф 0, так
что устойчивость для большинства начальных условий есть, но имеет место
неустойчивость по Ляпунову, что видно из частного решения, для которого
ф1 + 4ср2 - Nt - я,
МО =^М0 = МО) [1 - 24rf (0) if/3- (1ЛЗ)
Отметим, что в обоих рассмотренных примерах часть H(V) гамильтониана
представляет собой резонансное возмущение системы с гамильтонианом ГГ(0),
а функция ГГ(0) подобрана так, чтобы возмущенная система допускала
частные решения (1.8) и
(1.13). Следует отметить также, что частоты невозмущенной системы At =
dHln\'dri, вычисленные для частных решений (1.8) и (1.13), связаны
резонансными соотношениями (теми же, что и частоты линейной системы), то
есть во все время движения траектории, приводящие к неустойчивости,
находятся в резонансной зоне фазового пространства.
Примеры гамильтоновых систем с быстрой диффузией Арнольда построены также
в работах [78, 93]. Но, как показал Не-хорошев [78, 79], в общем случае
диффузия Арнольда (если она существует) является экспоненциальной. Так
что рассмотренные примеры представляют собой исключения из правила.
Результаты Нехорошева будут рассмотрены в § 3.
