Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Если | с2 | < Ъг, то положение равновесия неустойчиво', если же
| с21 Ь2, то имеет место устойчивость по Ляпу-
нову.
Для доказательства первого утверждения этой теоремы возьмем функцию
Ляпунова
V = г2 sin 4q>; (6.4)
функция V будет знакопеременной в окрестности начала координат. Для ее
производной получаем такое выражение:
^ = 8г3 (ft2 4- с2 cos 4ср) + О (г'2). (6.5)
При выполнении неравенства | с2 | < Ъ2 функция (6.5) будет определенно-
положительной в достаточно малой окрестности начала координат.
Следовательно, положение равновесия неустойчиво.
Докажем теперь устойчивость при выполнении неравенства I са I <С Нетрудно
проверить, что в этом случае в системе с "укороченным" гамильтонианом
h = г2 (с2 + b2 cos 4ф) (6.6)
переменная г будет периодической, аф - монотонной функциями f. Сделаем
каноническое преобразование, приводящее h к переменным действие I - угол
W [8, 36]. Переменные действие - угол связаны с г и ф соотношениями
w=w' ад"р)= Н<р- (6Л)
о
Здесь S - производящая функция канонического преобразования г, ф 1, W.
Интеграл в (6.7) вычисляется при условии
г2 (с2 + Ъ2 cos 4ф) = h, (6.8)
где h = h (I) - функция обратная к
2JT
/W = sr5r*p; (6-9)
о
при этом г в (6.9) означает функцию г (ф, h), получаемую из (6.8)
Заметим, что знаки коэффициентов с2 и Ьг в гамильтониане
(6.3) можно считать одинаковыми. Если это не так, то, вводя вместо
переменной ф угол ф - я/4, получим гамильтониан, у которого эти
коэффициенты будут иметь одинаковые знаки. Введем обозначение к?= 2bJ(b2
+ с2). В силу условий доказываемой теоремы выполняются неравенства 0 к2
"< 1. После несложных вычислений, использующих различные формулы для
эллиптических функций и интегралов из [18, 26, 91], получим из (6.7) -
(6.9)
3 А. П. Маркеев
66
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[ГЛ. 3
явное выражение для производящей функции
5 = 4TW)F^'k^ (6Л0>
где К и F - полный и неполный эллиптические интегралы первого рода, к -
их модуль. Из (6.7) и (6.10) находим выражение старых переменных через
переменные действие - угол:
я/ 1 А К (к2) /а а л\
--- Ф=тат-W. (6.11)
2К (к2) d a iK lk^W
П
В переменных /, W функция Гамильтона (6.3) имеет вид
й='^Ш*>)'р+ф{1'w't]' (6-12)
где функция Ф при достаточно малых I аналитична относительно У7, Ф = О
(/**).
Сделаем еще одну каноническую замену переменных I, W -+Д,ЧГ:
1 =а R' w =slgn (Ь' + '¦> (fU3)
где о - малый положительный параметр (0<сг<^!1). В переменных Д и Y
уравнения движения запишутся в виде
^ = оД + О (а3(2), ~ = 0 (о*2). (6.14)
Величины порядка а3'2 в (6.14) 2я-периодичны по гР, 8л-периодичны по i и
при достаточно малых а аналитичны по Д в кольце 1 ^ Д 2. Пусть 0 и р -
начальные значения Y и Д, лежащие в этом кольце. Проинтегрировав систему
(6.14) от t = 0 до t = 8я, получим отображение кольца, которое сохраняет
площадь, так как система (6.14) гамильтонова (теорема Лиувилля о
сохранении фазового объема [16]). При малых а это отображение имеет вид
Y = 0 + о [8яр + Vaf (р, 0, о)],
(6.15)
Д = р + о У a g (р, 0, а),
где / и g 2я-периодичны по 0 и аналитичны по р в кольце 1 <Р <2.
Отображение (6.15) удовлетворяет всем условиям теоремы Мозера об
инвариантных кривых. Поэтому в кольце 1 < р < 2 существуют кривые,
инвариантные при отображении (6.15). Следовательно, траектория системы
(6.14), начинающаяся между инвариантными кривыми, при всех t остается в
кольце 1 < Д < 2.
5 7]
РЕЗОНАНСЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
67
Учитывая связь переменной Я и исходных переменных, получаем отсюда
устойчивость положения равновесия х = у = 0 системы
(3.1), Теорема доказана.
Сделаем в заключение параграфа два замечания. Во-первых, отметим, что при
выполнении неравенства | с2 | Ьг существует степенной ряд (возможно,
расходящийся), который формально является знакоопределенным интегралом
системы (3.1) [158]. Согласно только что доказанной теореме, из
существования формального интеграла в нашей задаче следует устойчивость
по Ляпунову.
Второе замечание касается "критического" случая | с2 | = Ь2. В этом
случае члены четвертого порядка по х, у в гамильтониане
(3.2) не решают вопроса об устойчивости. Система с "укороченным"
гамильтонианом (6.6) неустойчива. Но члены более высокого порядка могут
либо сделать ее устойчивой, либо оставить неустойчивой. Первый случай
реализуется, например, в системе с гамильтонианом
Н = г2 (1 + cos 4ф) 4т г3,
а второй - в системе, имеющей функцию Гамильтона
Н = гг (1 + cos 4<р) - г4 sin 8<р.
В первом случае устойчивость очевидна из-за существования
знакоопределенного интеграла Н = const; неустойчивость во втором случае
следует, например, из существования частного решения
были малы начальные значения г (ОТ
§ 7. Устойчивость при резонансах
произвольного порядка
Пусть функция Гамильтона (3.2) такова, что величина Хк не будет целым
числом при к = 1,2,..., 2п, а коэффициенты в (3.3) равны нулю. Тогда
вопрос об устойчивости не решается членами до порядка 2п в разложении
гамильтониана.
