Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
получим
Г2 = - Ко (п, фц фг) - к1 (гь фх, Ф", К),
где
Ко= - 3-- [a -J- Ъ cos (фх -)- Зф2)] г*.
Функция = О (е(r)/2) и имеет период 2я по фх и новой независим мой
переменной ф2. Если ввести вместо угол ф = ф1 + Зф2, то гамильтониан К
полученной системы с одной степенью свободы
СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ
77
запишется в виде
К = {- bcos <р) г?+ /?(!•!, ф2, h). (3.12)
Очевидно, что знаки коэффициентов а и Ъ можно считать одинаковыми.
Сделаем замену переменных rlt ср /, со при помощи производящей функции
(4' = хт"г<1)- <3-13>
где К и F - эллиптические интегралы, к - их модуль. Гамильтониан К примет
вид
Х = -Ег^^ + ф(/. И'. "¦.*)• <з-14>
где функция Ф = О (е5/2) и имеет период 2л по W и ф2. Кроме того, функция
Ф аналитична по всем переменным в области
О < < I < 62, | h | < 83, | Im W, ф2 | < б4,
где бi - некоторые малые положительные числа.
К системе с гамильтонианом (3.14) применим теорему Мозера об инвариантных
кривых, аналогично тому, как это было в системе с гамильтонианом (6.12) в
третьей главе. В нашем случае, правда, "возмущающая" часть Ф функции
Гамильтона (3.14) зависит еще от малого параметра h. Но теорема Мозера
все равно применима при рассмотрении окрестности начала координат, для
которой 0 < е < е0, где е0 не зависит от h, если h достаточно малая
величина [12, 72]. Так как в малой окрестности начала
координат инвариантные кривые существуют при всех достаточно малых
значениях постоянной интеграла Н = h = const, то отсюда следует, что
положение равновесия qt = р( = 0 изучаемой системы (1.1) устойчиво по
Ляпунову.
§ 4. Об устойчивости в случае равных частот
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия qt = pt = 0
системы (1.1) в случае равных частот колебаний линеаризованной системы.
Эта задача изучена в работах Сокольского [86, 87]. Проводимые ниже
рассмотрения основаны на результатах этих работ.
Задача об устойчивости в случае равных частот о)х == о)2 = со распадается
на две принципиально отличающиеся друг от друга задачи. Рассмотрим
сначала первую из них, когда матрица линеаризованной системы (1.1)
приводима к диагональной форме. В этом случае функцию Гамильтона (1.2)
можно представить в виде (2.1), а затем применить преобразование
Биркгофа. Проводи-
78
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[ГЛ. 4
мая при этом нормализация принципиально ничем не отличается от
аналогичных преобразований, проделанных в §§ 2 и 3. В конце концов,
уничтожив форму Н3, упростив #4 и перейдя к полярным координатам по
формулам
qt = V%ri sin Фг. Pi = V%ri COS (Pi, получим функцию Гамильтона (1.2) в
таком виде:
Н = со (гх - г2) + С20г\ + Спг1г2 + согг\ +
+ 2гггг [^2002 cos 2 (фх + Ф2) - ^2002 sin 2 (фх + ф2)1 +
+ 2г, Утл [Ацао sin (фх + ф2) -
^1120
COS (фх + ф2)] +
+ 2г2
[^1Ю2 sin (ф! + ф2) + ^1x02 cos (фх + ф2)1 +
+ О ((гх + г,)*/.). (4.1)
Вюражения коэффициентов нормальной (|ормы (4.1) через коэффициенты
гамильтониана (2.1) получаются из следующих формул:
3 1 1 Зсо2 . со2
С%о - ---------------------- ^2020 g и1, 1 "Г g м2, 2 g ui, 4
g~ Щ, 7 Н 24" и%' 8'
0)2 qj2
Схх = %ц -Г 2пх, 6 2м3> з--------g- и8, 8 - 2м2, ь - 2k4i 4 -| g-
n9i9,
3 1 .1 . Зсо2 со2
Сог = - ^0202 + g иъ,ь 2 Мб,в "т~ ~2 Мз'3 п 8~ Н1°1го-----------------
-----24^ н9,э>
. , 1 (О2 1 со2
"2002 - 3:2002----g Ul'3 - М2>4 n-8~ м?'9 "i" Мз'6 "i~ "2 М4'5-
------8" M8'u'
7 1 I I 0)2 I 1 3)2
{2002 = 2/2002 -• "2 У1,3 "Г у2,4 Н g- Vt,9 ---- V3,6 Т~
g У4,5 ~ "g- ^8,10"
, 1 1 1 CO2 , CO2
"4120 - ^1120 ----- g "2,1 + MX)4----------T~ "3,2-------- g "2,0 g
"6,4 g "8,7 "Г |g M9,8>
J 1 . . 1 1 CO2 CO2
%20 - У\i2o--------g'^2'1 У1'4 Уз'2 - "2"172,6-2 V6'1 4" y8,7"r 12
y9'8'
, . 1 | 9 1 . to2 to2
"1102 - ?1102 + g "0,2 т "2,3 - ^n5i3 - n4l6 -f- J ив)5 -f- m9,10
gj "8,9>
7 I 1 I О I ff)2 CO2
П102 - 2/xioa + g "в,2 + "2,3 - ^^6,3 "4,e-g Уб>5 ч
~ У9"10 - pjjг;8'9'
Bj,? = ОД + ViVj, vn = Xiiy.j - xfli,
1, 3, 3oo , , . 1 ,
(r)1= - g "1020 ggr "¦3000, 2/x - "g- "0Й0 + go" 2010'
1 1
z2= - (r)feo021 - -^200I, Уг = ^0120 + ¦Тд- ^2X00)
0) и)4*
X3- g" Vll g ^1002 + g^2 ^1200" Уз = g ^0012 + ^0211 + ^1101 >
xi=---------------------gfeo021"b ^XXlO+ga ^200X> У4,-------------------
------g ^0X20- g^l011+ 2щЗ ^-2100,
СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ
79
Зй> , . 1 , 1 7 3 ,
: ~2~ "оооз *r ~2^~ "02j)ii Уь -------2 0102 -------2ш^. 0300'
1 1 ; ^1002 + -ф ^1200" Уб = - ЫЙ.0012 - - ^02101
, 1 , 1 , 1 ,
= "0030 - ^2 "'20101 У 7 - ~ "1020 ^ЁГ "30001
1 , 1 , 1 ,
= - "0120 - "1011 "21001
1 1
2/8 = ^0021 + '^2'felllO -^2 ^20011
= ----^.0012 + -^2" ^0210-------^2"^1101i
1 , 1 , ,1т,
2/э - "0111---------- "1002 + -^3 "12001
1 1 = ^0102 + ^03001
2/10 - - ^0003 + ^02011
- (За)%0040 "Ь ^2020 ~Ь -jjp ^4ooo j 1
f 1
ft)2A.0022"T ^0220 "Ь ^2002 + ~2 ^"22001
- ^3c02fe0004 + ^0202 + -a- ^0400j i
• ^C02/loo22 + ^0220 + &11U "Ь ^2002 + ^2200) i
( ЮЙ.0121 (r)^1012 H - ^1210 H JJ- ^210l) i
(Зо)/1о130 -J- C0ftl021 H ~ ^2110 H - ^300l] i
• ^ 3(fl2feo031 + ^1120 ^2011 + ¦g2"^'310o) i
