Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 26

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 203 >> Следующая

Допустим теперь, что число X (2п -f- 1) будет целым. Тогда функция
Гамильтона (3.2) может быть приведена к виду
Н = arn Yг cos (2п + 1 )<р + О (rn+1) (а = const). (7.1) При помощи
функции Ляпунова
У1 - 24г8 (0) t
которое неограниченно возрастает при t
1
, как бы ни
24г3(0)
V = гп У г sin (2 п + 1)ф
(7.2)
з*
68
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
(ГЛ. 3
легко показать, что при а =/= 0 положение равновесия х - у = О
неустойчиво.
Пусть, далее, либо а = О, либо число Хк не будет целым при к = 1,2,...,
2га, 2га + 1, а число X (2га + 2) - целое. Тогда гамильтониан приводится
к виду
где & и с - постоянные коэффициенты. При выполнении неравенства | Ъ |
| с | положение равновесия неустойчиво. Это доказы-
вается при помощи функции Ляпунова
Если же | Ъ | < | с |, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Для
доказательства этого утверждения сделаем каноническое преобразование г,
<р ->-1, W при помощи производящей функции
Знаки Ъ и с можно считать одинаковыми, поэтому 0 ^ /с2 < 1. В (7.5)
введено обозначение
В новых переменных функция Гамильтона запишется в виде
где функция Г = О (Jn+3/2) и периодична по W и t. Дальнейшее
доказательство сводится к применению теоремы Мозера об инвариантных
кривых, как это сделано в предыдущем параграфе.
Н = rn+1 [с + Ъ cos 2 (га + l)q>] + О (гп+3/2),
(7.3)
V = r"+1 sin 2 (га -f- 1)ф.
(7.4)
(n+l) ф
С da
(7.5)
о У1 - к2 sin2 а
о У~1 - к2 sin2 а
я=(^гГ(г'+с) + Г(,'и'',)'
ГЛАВА 4
УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 1. Постановка задачи
Рассмотрим автономную каноническую систему дифференциальных уравнений
= ЧГ - Щ = (1Л)
Пусть начало координат является положением равновесия системы и
гамильтониан Я есть аналитическая функция обобщенных координат и
импульсов q-" pt, разлагающаяся в ряд
Я = Я2 + #3 + Hi+ . . (1.2)
где Нт - однородная функция степени т относительно qt, pt.
Если Я2 - знакоопределенная функция, то, согласно теореме Ляпунова,
положение равновесия устойчиво (для применения теоремы Ляпунова об
устойчивости в качестве функции Ляпунова V можно взять в этом случае
функцию Гамильтона Я). Пусть, однако, Я2 не является знакоопределенной
квадратичной формой, но система (1.1) устойчива в первом (линейном)
приближении. Тогда при некоторых ограничениях на частоты Wj, ю2 линейной
системы и на коэффициенты форм Я3 и Я4 вопрос об устойчивости можно
решить при помощи следующей теоремы Арнольда - Мозера [2, 3, 72].
Теорема. Если функция Гамильтона (1.2) такова, что
1) характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет чисто
мнимые корни ±?(0i, +ш2;
2) + га2ю2 Ф 0; (1.3)
еде щ, пг - целые числа, удовлетворяющие условию 0 < I I + + I пг I 4;
3) с20о)2а + с11ю1(о2.+ c02o>i ф 0, (1.4)
то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.
В формулировке теоремы предполагается, что функция Гамильтона (1.2)
записана в виде
Я = щГ1 - ю2г2 + c20ri + + согг\ + О ((гх + г2)5/2),
(1.5)
70
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[ГЛ. 4
где 2гг = q\ + р\. Выбор координат и импульсов qt, pt, в которых
гамильтониан (1.2) представляется в виде (1.5), осуществляется при помощи
преобразования Биркгофа, которое в нашем случае возможно при выполнении
условия (1.3). Коэффициенты сц являются инвариантами функции Гамильтона
(1.2) относительно канонических преобразований.
Во многих приложениях при решении задачи об устойчивости теоремы Арнольда
-Мозера недостаточно. Необходимо более полное исследование, когда условия
(1.3), (1.4) не выполнены.
Случай нулевых частот линеаризованной системы в рассматриваемых ниже
задачах небесной механики не встретится. (Отметим, однако, что задача об
устойчивости автономной гамильтоновой системы в случае двух нулевых
частот тщательно исследована в работе Сокольского [85].) Предположим
поэтому, что % > ю2^> 0* Тогда условие (1.3) не выполняется при = кщ (к =
1, 2, 3). Исследование устойчивости в этих трех резонансных случаях
проведено в § 2-4. Устойчивость при невыполнении условия
(1.4) рассмотрена в § 5.
§ 2. Исследование устойчивости при резонансе (c)1=2о>2
Пусть частоты линеаризованной системы (1.1) связаны резонансным
соотношением третьего порядка = 2со2. Проведем, следуя [55], подробное
исследование устойчивости. Будем считать, что гамильтониан (1.2) имеет
вид, соответствующий нормальным колебаниям линейной системы
(соответствующую вещественную линейную нормализацию можно провести
согласно, например, главе 2):
н=4- ф+с°м) -гФ++ Z
(2.1)
Для приведения гамильтониана (2.1) к виду, удобному для применения
преобразования Биркгофа, сделаем каноническую замену переменных
^ = т ^+к pi' Pi = ^i(0iq'+
г ... . ± _ 1
щ
(i* = -1).
?*=- т ?; + 5-р;. p" = -j(°<+ip*
(2.2)
В новых переменных функция Гамильтона запишется в виде
' г Г t VI 7 ' /О 0 4
Н = i(0ig р. + K02g р + 2l Av,v,m..h,?i Ъ Pi Рг ¦ (4.3)
Vl+V.+|il+|i2=3
§ 21 РЕЗОНАНС ?0i = 2t0j 71
Коэффициенты формы третьего порядка в (2.3) выражаются через коэффициенты
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed