Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
__'=ог7(2е0). (20.39)
Учитывая (20.6), получаем
F — F Eq (в —1) Ej
и, следовательно,
E1=J^E0. (20.40)
Заметим, что в (20.6) En — это напряженность поля внутри диэлектрика! В нашем случае En=Ex. Тогда из (20.6) определяем
а' = 2e0^ E0. (20.41)
Из (20.39) получаем F' — е~~1 F
Следовательно,
Е*=-цгеЕ0. (20.42)
130
Пример 20.6 В бесконечном однородном и изотропном диэлектрике, в котором создано известное однородное поле напряженности E0, имеется сферическая полость радиуса R (рис. 20 8). В центре полости расположен точечный диполь с электрическим моментом ре. Определить период малых колебаний диполя, если момент инерции диполя относительно оси вращения равен J. Решение. Задача весьма похожа на пример 19.5. Очевидно, что период малых колебаний диполя может быть легко найден, если мы определим поле в полости. Легко видеть, что и в этой задаче метод Гаусса бесперспективен. Применим метод суперпозиции. Вследствие поляризации диэлектрика на поверхностях (двух полусферах) появляются связанные заряды +Q' и —Q', плотности о' которых не постоянны. Для расчета поля полусферы с переменной
поверхностной плотностью______
заряда о' применим метод -
ДИ. Нетрудно доказать, что ?г?НЗ?г^"^ поверхностная плотность за- zJZrzsiJfa ' рядов о' на элементарном кольце " ^ +ick #
o'=(jocos9, (20.43) pHf'jM1 0
где —-и ,
ог.=е.(е—(20.44) zrSirjrJr^~~~~-TSZ.Z
— максимальная поверхност- 20-8
ная плотность заряда (в точке
А на рис. 20.8). Тогда проекция элементарного вектора напряженности dE поля кольца на ось OX (ось симметрии полусферы) в точке О (по 19.16)
_ ао sin 8 cosa 8 d8 х~ 2є0
Отсюда после интегрирования находим поле одной полусферы:
л/2
г- С Q0 sin 8 cos8 8 d8 (е— 1) E0
1== J too 6 '
о
Поле двух полусфер
2E1 =
(B-I)E0
131
Таким образом, искомое поле в центре сферической полости E = E0 + E1 = 2^E0. (20.45)
Так как поле известно, то дальнейшее решение задачи о колебаниях диполя очевидно (см. пример 19.5).
В заключение рассмотрим еще одну задачу на оценку. Пример 20.7 Эбонитовый шар радиуса R равномерно заряжен электричеством с объемной плотностью р. Сфера какого радиуса Ri делит шар на две части, энергии которых равны?
Решение. Проведем эту сферу радиуса Ri (рис. 20.9). Тогда нам необходимо определить энергию Wi шара радиуса R1 и энергию W2 шарового слоя с радиусами
Ri и R. Для этого необходимо рассчитать поле в шаре. Это легко делается методом Гаусса. По теореме Гаусса,
DAm2=4/3яг3р.
Таким образом, поле внутри шара
E = IL Зє0є "
20.9
Применяя метод ДИ, находим энергию AW поля, заключенную внутри тонкого шарового слоя толщины d>:
dW = ш-аи = ^~-ШЧг
2яр2 9є0е
г4 dr.
Здесь w — плотность энергии электрического поля. После интегрирования получаем
w 2яр»я; . w 2яр»(Я»-Яі) 1— 45е0е ' 2— 45^ "~"
Так как Wi=W2, то R
R1
5/2"
0,87/?.
Числовой ответ несколько неожиданный: во внешнем шаровом слое толщиной всего лишь (примерно) в Vi0 радиуса содержится половина электрической энергии всего inapaJ
132
§ 21. Проводники в электростатическом поле
Поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. На этом свойстве проводников основан метод зеркальных изображений. Этот метод позволяет рассчитывать различные электростатические поля, определять емкость системы проводников и т. д.
Метод зеркальных изображений основан на следующем положении. Если в произвольном электростатическом поле заменить эквипотенциальную поверхность металлической поверхностью такой же формы и создать на ней такой же потенциал, то данное электростатическое поле не изменится.
Рассмотрим электрическое поле между точечным зарядом +Q и бесконечной металлической плоскостью, потенциал которой равен нулю. В силу выше сформулированного положения это поле эквивалентно электрическому полю, созданному данным точечным зарядом +Q и точечным зарядом —Q, являющимся зеркальным изображением данного заряда +Q в металлической плоскости (рис. 21.1).
Пример 29.1 Точечный заряд Q=+2-10-8 Кл находится на расстоянии I = I м от бесконечной металлической плоскости, отведенной к Земле (рис. 21.1). Определить силу взаимодействия между зарядом и плоскостью.
4
і
р
21.1
21.2
Решение. Металлическая плоскость находится в электростатическом поле точечного заряда. Вследствие явления электростатической индукции на стороне металлической плоскости, ближайшей к точечному заряду, появляются наведенные электрические заряды противоположного знака. Поэтому возникает сила взаимодействия между данным точечным зарядом и зарядами, наведенными на
133
плоскости. Потенциал плоскости по условию равен нулю (потенциал Земли условно принимают за нуль). Следовательно, согласно методу зеркального изображения, электрическое поле между точечным зарядом и плоскостью эквивалентно полю, созданному данным зарядом и его зеркальным изображением в металлической плоскости. По закону Кулона получаем искомую силу взаимодействия:
Р™ШЖ>- '*9-Ю-'Н.
Пример 21.2 Точечный диполь с электрическим моментом р находится на расстоянии I от бесконечной проводящей плоскости. Определить модуль вектора силы, действующей на диполь, если вектор р перпендикулярен плоскости.
