Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беликов Б.С. -> "Решение задач по физике. Общие методы" -> 43

Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.

Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы — М.: Высшая школа, 1986. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): reshenzadach1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 75 >> Следующая

и +Q". В какой точке сферы? „ В любой. Ибо потенциал произвольной точки проводника, расположенного в электростатическом поле, постоянен.
В нашем случае и весь объем, ограниченный проводя-21.6 щей сферой, является эквипо-
тенциальным. Таким образом, возникает догадка рассчитывать поле в самой удобной для нас точке. Такой точкой является центр сферы. Действительно, несмотря на то что мы не знаем ни значений индуцированных зарядов —Q' и +Q", ни законов распределения по сфере их плотностей —о' и +а", мы можем утверждать, что общий потенциал поля этих зарядов в этой особенной точке (центр сферы) равен нулю: ф2+ф8=0 (индуцированные заряды —Q' и +Q" находятся на одинаковом расстоянии от центра, равны по модулю (|—Q'|=|+Q"|) и проти-
138
воположны по знаку). Следовательно, осталось рассчитать потенциал фі поля кольца в точке Q (рис. 21.6):
Q
Фі =
4яє0 (f"+/?»)1'1
(21.3)
Это и есть искомый потенциал сферы ф=Фь
Можно усложнить условия решенной задачи. Например, пусть заряд Q на кольце распределен неравномерно. Легко видеть, что решение (21.3) останется таким же. Далее, можно предположить, что кроме заряда кольца Q поле создается другими зарядами: точечным зарядом Qi, зарядом Q2* тонкого отрезка и т. д. Нетрудно доказать, что во всех этих вариантах решение задачи сводится к расчету поля (потенциала) новых зарядов Q1, Q2 и т. д. в центре сферы.
Заметим, что решенная задача оказалась нестандартной: необходимо было догадаться, что «самой удобной» точкой является центр сферы.
Емкость
C=QAp
(21.4)
уединенного проводника определяет характер электрического поля, возникающего вне и на поверхности проводника (потенциал ф) при сообщении ему электрического заряда Q. Отсюда следует, что нахождение емкостей проводников связано с расчетом потенциала этого электрического поля (т. е. с основной задачей в теории поля). %
Пример 21.6 Определить емкость уединенного шарового проводника радиуса R1, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем однородного диэлектрика с проницаемостью е и наружным радиусом R2 (рис. 21.7).
Решение. Сообщим шаровому проводнику заряд Q. Тогда вне и на поверхности проводника возникает электрическое поле. Если мы рассчитаем потенциал проводника ф(/?і), то по (21.4) можем найти емкость С. Расчет потенциала поля (оно симметрично) можно провести по методу Гаусса. По теореме Гаусса,
D-4nr2=Q,
где R2~>r>Ri. Следовательно, напряженность поля в диэлектрике
г Q
4яе0ега *
21.7
139
После интегрирования соотношения E=—dcp/dr получаем распределение потенциала в диэлектрике:
Г Qdr Q , „
т J 4ле0єг2 ' т 4лє0ел '
Постоянную с найдем из условия q>(R2)=Q/(AnE0R2): с^ Q(e—i)
4ле0е/?2
Таким образом, окончательное распределение потенциала в диэлектрике
8—1
/ ч Q / 1 і 1
Используя условие непрерывности потенциала, определим потенциал шарового проводника:
и его емкость (21.4):
Q _ 4ле0е/?1
Ф(*і) і + 4і(8_1)' "2
Пример 21.7 Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость которого изменяется в перпендикулярном обкладкам направлении по линейному закону от E1 до E2, причем B2^-B1. Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними d (рис. 21.8). Определить емкость конденсатора.
Решение. Направим ось OX вверх, а начало координат совместим с нижней пластиной (рис. 21.8). Так как є изменяется по линейному закону, то
Е=а+Ьх, (21.5)
где постоянные а и b определяются из граничных условий (є=Єі при х=0 и є=є2 при x=d):
A = EiJ Ь = (є2—E1)Id. (21.6)
Таким образом,
і °2-В1
B = B1 + -V"1*.
Сообщим нижней пластине конденсатора заряд Q и по методу Гаусса рассчитаем напряженность образовавшегося
140
поля:
Q
Q
e0sS г0 (a-\-bx) S '
Далее, после интегрирования соотношения E= ^
dx
^или ^ = gQJ^a^-ьх)) опРеделим разность потен-
циалов Аф между пластинами:
о
Следовательно, емкость конденсатора
Z0Sb__b0S (e2- e1)
Аф In (1 -f- bd/a) d- In (г21Ч)
Можно обобщить решенную задачу, предположив, что проницаемость є изменяется по любому закону e=f(x), где f(x) — произвольная функция (например, f(x)=xn). Легко видеть, что все такие задачи могут быть решены тем же методом.
21.8
21.9
Пример 21.8 Определить емкость сферического конденсатора с радиусами обкладок R1 и Кг{причем R2~>R і), который заполнен изотропным диэлектриком с проницаемостью, изменяющейся по закону е=а/гг, где а—постоянная, г — расстояние от центра конденсатора (рис. 21.9).
Решение. Сообщив внутренней обкладке заряд Q, по методу Гаусса рассчитаем напряженность поля внутри диэлектрика:
Е= Q „ Q
4л80ег2 4ле0а
141
и разность потенциалов между обкладками:
Следовательно, емкость такого сферического конденсатора P_ 4яв0а
В заключение этого параграфа рассмотрим еще такую задачу-
Пример 2І.9 Определить емкость участка единичной длины двухпроводной линии.
Решение. Задача поставлена не полностью. Проведем идеализацию задачи. Пусть линейная плотность зарядов (заряд на единичной длине) на первой линии равна —т, а на второй +т. Предположим, что другие тела находятся столь далеко от линии, что их влиянием на электрическое поле между проводами можно пренебречь. Предположим, что радиусы г проводов одинаковы и что г<^1 (где / — расстояние между ними). Таким образом, рассматриваемая физическая система состоит из трех объектов: двух бесконечных тонких прямых параллельных проводников, равномерно заряженных электрическими зарядами с линейными плотностями* —т и -f-т, и электрического поля, созданного этими зарядами. Необходимо определить емкость участка единичной длины такой системы.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed