Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
и т. д. Таким образом, формула (22.6) дает лишь начальное значение силы тока.
Выясним теперь смысл понятия «слабопроводящая среда». Это среда, для которой можно пренебречь изменением мгновенных значений силы тока (22.16), разности потенциалов (22.15), заряда (22.13) и т. д. Изменением этих величин можно пренебречь, если время релаксации т относительно велико. Итак, слабопроводящая среда — это среда, для которой время релаксации т относительно велико.
Проведем оценку времени релаксации некоторых сред в нашем случае. Оценим время релаксации парафина (є=2, р=3-1016 Ом-м). Из (22.14) получаем
т=е0єр, т«5,3-105 с«6,1 сут.
Примем условно, что время наблюдения т0«1 с. Таким образом, парафин с очень хорошим приближением можно считать слабопроводящей средой.
Оценка по формуле (22.14) времен релаксации двух видов кварца с параметрами E1=A,^, px=3-1014 Ом-м и е2 = =4,7, P2=I • 1012 Ом-м, а также мрамора с параметрами е3= =8,3, P3 = I-IO8Om-M дает значения времен релаксации 3,25 ч, 42 с и 7 -10~3 с соответственно.
Следовательно, если кварцы еще можно считать слабо-проводящими средами, то мрамору в этом свойстве можно отказать. Конечно, если характерное время наблюдения принять равным T0=IO-6 с, то и мрамор можно считать слабопроводящей средой.
(22.15)
е- t/(RC) _ /g-11(RC)
(22.16)
149
ГЛАВА 7
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 23. Магнитное поле в вакууме
При исследовании магнитного поля в физическую систему необходимо включать источники магнитного поля и их магнитные поля.
Основная задача теории магнитного поля (так же как и теории поля тяготения и электрического поля) заключается в расчете характеристик магнитного поля произвольной системы токов и движущихся электрических зарядов, что эквивалентно определению магнитной индукции В в произвольной точке поля. Эту задачу решают, применяя закон Био — Савара — /Iamiata в дифференциальной форме
dB = 7 [dlrl
4лг3
(23.1)
принцип суперпозиции и метод ДИ (см. § 6). Нередко используют и теорему о циркуляции вектора В
$В(Л=щ2/,
(23.2)
в особенности в тех случаях, когда закон (23.1) неприменим.
Сначала полезно решить несколько элементарных задач для двух весьма распространенных источников магнитного
I
23.1
23.2
поля: расчет индукции магнитного поля кругового тока / радиуса R в точке А, находящейся на оси на расстоянии х от его плоскости (рис. 23.1) — результаты приводим без
150
вычислении,—
B =
(23.3)
и расчет индукции поля отрезка проводника с током / в точке А, расположенной на расстоянии г0 от него (рис. 23.2),
B =
(cos Ct1 — COS Ct2).
(23.4)
Далее можно поставить и решить буквально десятки задач на расчет магнитных полей, созданных различными комбинациями этих источников: рассчитать поле «квадрата», «треугольника», «прямоугольника», «трапеции», поле фигур, образованных окружностями, полупрямыми, отрезками, и т. д., и т. п. Все эти задачи решают методом суперпозиции. Наиболее существенным здесь является учет векторного характера принципа суперпозиции.
Пример 23.1 Определить модуль вектора магнитной индукции В магнитного поля, созданного системой тонких проводников (рис. 23.3), по которым идет ток I, в точке А {О, R, 0}, являющейся центром кругового проводника радиуса R.
Решение. Магнитное поле создается тремя источниками: полубесконечным прямым проводником XO, круговым проводником радиуса R, центр которого расположен в точке А{0, R, 0}, а его плоскость совпадает с плоскостью ZOY, и полубесконечным прямым проводником OZ. По всем проводникам течет один и тот же ток /. Вектор Bi магнитной индукции поля проводника XO лежит в плоскости ZOY и направлен против оси OZ; вектор B2; магнитной индукции кругового тока лежит в плоскости XOY и направлен против оси ОХ; вектор B3 магнитной индукции проводника OZ
лежит в той же плоскости XOY, но направлен противоположно вектору В- (рис. 23.3). Из (23.4) находим модули векторов Bi и В3Г
23.3
R-R — JhL-
151
а по (23.3) — модуль вектора B2:
По принципу суперпозиции,
В = VBl + (B2 - Я3)2 = ^2 (2л2 - 2я +1).
Пример 23.2 По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса R течет ток плотности /. Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника. Решение. Так как проводник не тонкий, то закон Био — Савара — Лапласа (23.1) и его следствие (23.4) применять нельзя. Используем теорему о циркуляции вектора В (23.2). Рассмотрим точку A1, расположенную на расстоя-
нии гі от оси проводника (рис. 23.4). Проведем окружность радиуса г1 с центром О на оси проводника. В силу симметрии модуль вектора Bi в каждой точке окружности одинаков. Сумма токов ^1, охватываемая этим контуром (окружностью), равна \пг\. Таким образом, по теореме о циркуляции (23.2),
В x-2nr i^ = \x0jnr\.
Отсюда определяем модуль вектора Bx магнитной индукции в точке A1:
Рассмотрим точку A2, расположенную на расстоянии r2>R от оси проводника (23.4). Применяя теорему о циркуляции, находим
B2 -2nr2=\i0jnR2.
г
23.4
23.5
B1-1Z2]IoJr1.
(23.5)
152
Следовательно, магнитное поле вне проводника 2гТ'
(23.6)
График индукции магнитного поля сплошного цилиндрического проводника представлен на рис. 23.5.
