Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
<?і-<?2=/і(гг+Я4)-/2г2. (22.2)
145
Если выбрать за положительное направление обхода этого контура направление по часовой стрелке, то по второму закону Кирхгофа найдем
-<?і+<?2=-/і(гі+іч4) + //2.
Получено уравнение (22.2), умноженное на —1. Очевидно, что эти уравнения эквивалентны. Таким образом, сущность второго закона Кирхгофа не зависит от произвольного выбора направления обхода контура.
Рассмотрим контур ACDА. Выберем за положительное направление обхода этого контура направление против часовой стрелки. Применяя второй закон Кирхгофа, получим
^-(^3 = //-/3(/-3+^5). (22.3)
Система уравнений (22.1) — (22.3) является замкнутой. Задача физически решена. Решая полученную систему уравнений, находим:
Z1=—V8A, I2=—1I2A, I3=8I6A.
Токи Z1 и I2 получились отрицательными. Это означает, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток I3 положителен; следовательно, его направление случайно было выбрано правильно.
Пример 22.2 Цилиндрический воздушный конденсатор с внутренним Ri и внешним R2 радиусами заряжен до разности потенциалов Аф0 (рис. 22.2). Пространство между обкладками заполняют слабопроводящей средой с удельным сопротивлением р. Определить силу тока утечки, если высота [длина) конденсатора равна I. Решение. Физическая система — участок электрической цепи, в котором причиной направленного движения свободных зарядов слабопроводящей среды является электростатическое поле. Разность потенциалов Аф0 этого поля будем считать постоянной. Так как участок однородный (в нем нет э. д. с), то силу тока можно найти по закону Ома для однородного участка
/=АФо/Я, (22.4)
если известно его полное сопротивление R. Эту величину можно определить методом ДИ. Элементарное сопротивление тонкостенного цилиндрического слоя толщиной (длиной) dr и радиусом г (рис. 22.2) составляет
146
Отсюда после интегрирования получаем значение полного сопротивления участка:
*' d
Н~1?1ш^ыхп1к' (22.5)
Ri
Следовательно, / _ 2я/дф0
(22.6)
Всегда ли справедливо решение (22.6)? Поставим ряд других вопросов. Ранее было сказано, что после определения основной величины — силы тока — все остальные параметры и цепи, и процессов, происходящих при прохождении тока, могут быть легко определены. В частности, по закону Джоуля — Ленца
Q=ZW (22.7)
можно определить количество теплоты Q, выделившейся в участке за время t; по закону
Q=It (22.8)
можно найти количество электричества, прошедшее сквозь поперечное сечение участка за время t, и т. д.
Определим, например, за какое время t0 по участку пройдет первоначальный заряд Q0=CAq)0 конденсатора, где
2яе0е/
22.2
С_Іп(Яя/Яі) — емкость конденсатора. Решение
t _ Qo
/
С дф0р In (R2IRi) _
2я/ дф0
= е0ер
(22.9)
(22.10)
является формальным и неверным по своему существу. Действительно, решение (22.10) справедливо, если сила тока постоянна. Из (22.4) и (22.6) вытекает, что условие Z=const выполняется при Z?=const и A<p0=const. Но условие Aq)0= =const означает, что при C=const заряд на обкладках должен оставаться постоянным. А это противоречит постав-
147
ленному вопросу. Заряд на обкладках конденсатора уменьшается; следовательно, уменьшается разность потенциалов Дф и появляющийся ток утечки, строго говоря, не является постоянным, как это следует из (22.6). Решение (22.6) справедливо, если Дф=соп5і, что строго никогда не выполняется.
Очевидно, что выход из создавшейся ситуации таков: разность потенциалов Дф изменяется, но она при соответствующих условиях может изменяться столь медленно, что этим изменением можно пренебречь, считая приближенно Аф=соп8І;. Этим соответствующим условием является не выясненное в примере 22.2 понятие «слабопроводящей среды». Итак, усложняем условия примера 22.2, считая, что в реальном случае разность потенциалов Дф не является постоянной.
Пример 22.3 В условиях примера 22.2 определить закон изменения силы тока утечки от времени. Решение. Допустим, что сила тока изменяется столь медленно, чтобы в каждый момент времени был справедлив закон Ома (22.4). Тогда
dQ _ Аф ,99 і п
йГ~ R' ^z.її)
Іде /=—dQ/dt и Дф=(2/С— мгновенные значения силы тока и разности потенциалов. Итак, мы имеем дифференциальное уравнение
dQ Q
dt CR
(22.12)
для неизвестной функции Q=Q(O — заряда Q на обкладках конденсатора в любой момент времени t. После разделения переменных и интегрирования получаем
InQ= — -^t + C1.
Учитывая начальные условия (Q=Q0=C^Po при t=0), находим постоянную cx=InQ0- Таким образом,
Q = Q0e-'/<«o. (22.13)
Постоянную T=RC
условно назовем временем релаксации или постоянной релаксации. Легко видеть, что т — время, за которое первоначальный заряд Q0 уменьшается в е«2,78... раз. В нашем
148
случае
9 In {RzIRi) 2ле0е/
2л/ In(R2ZR1) Є<)1
е0ер
(22.14)
что совпадает с (22.10). Таким образом, u — это не время протекания всего заряда q0, а лишь время релаксации. Из (22.13) видно, что время перетекания всего заряда равно бесконечности (Q=O при оо).
Из (22.13) можно определить законы изменения и других величин — разности потенциалов и силы тока:
