Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
107
Если характеристики поля будут рассчитаны, то задачи о движении заряженных частиц в известном поле можно решить или динамическим методом, или методом законов сохранения.
Пример 19.1 Рассчитать напряженность поля прямой бесконечной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью у, в точке 0, удаленной от нити на расстояние г0.
Решение. Заряд нити неточечный, поэтому непосредственно использовать формулу (19.2) нельзя. Применим сначала теорему Гаусса. В силу симметрии поля вектор напряженности в любой точке нормален цилиндрической поверхности, проходящей через эту точку. Ось симметрии этой поверхности совпадает с нитью. По-0 этому в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр длиной / с осью симметрии, совпадающей с нитью, боковая поверхность которого проходит через точку О (рис. 19.1). Поток вектора E через боковую поверхность цилиндра ФБ=2лг01Е, а электрический заряд, расположенный внутри цилиндра, Q=yl. По теореме Гаусса,
2пг01Е=у1/ъ0.
19.1
Отсюда определяем искомую напряженность:
E =
2ле0/о '
(19.4)
Попробуем применить метод ДИ. Разделим нить на столь малые элементы, чтобы заряд, находящийся на каждом таком элементе, был точечным. Рассмотрим один такой элемент длиной dl с зарядом dQ=ydl (рис. 19.2). В точке О элементарная напряженность поля этого заряда
dE =
dQ у dl
4яє0г2 4яє0г2
(19.5)
Из треугольника ADO находим r=r0/cos <Х,
108
Так как |4C|=»/-da=r0da/cosa, то из треугольника ABC определяем
d/=|AC|/cos a=r0da/cos2 a. Подставляя значения г и d/ в уравнение (19.5), получаем
d? =
у da
4Л80Г0
Проекции вектора dE на оси OX и OYi
_у cos a da
* ~ 4яе0г0 »
^ _у sin a da
У ~ 4яє0г0
(19.6)
(19.7) (19.8)
Отсюда после интегрирования получаем
+ я/
-я/2
+ я/2 +я/2
у cos a da у F С у sin a da
* 1 4яє0/-„ 5яіп
-я/2
4яе0г0
0.
Таким образом, окончательно E =
2яе0г0 '
что совпадает с выражением (19.4), полученным с помощью теоремы Гаусса.
19.2
На первый взгляд метод ДИ при расчете поля нити оказался более трудоемким, чем использование теоремы Гаусса. В данном примере это действительно так. Но метод ДИ является универсальным, он может быть применен практи-
109
чески и в тех случаях, когда теорема Гаусса оказывается бесплодной.
Пример 19.2 Определить напряженность поля отрезка, равномерно заряженного с линейной плотностью у, в точке О, удаленной от отрезка на расстояние г0. Углы ах и а а заданы (рис. 19.3).
Решение. Легко видеть, что симметрия поля бесконечной нити нарушена, поле отрезка несимметрично. Очень трудно построить замкнутую поверхность, окружающую отрезок, для которой по теореме Гаусса можно было бы относительно просто вычислить поток вектора Е.
Применим метод ДИ. Проекции вектора 6.Е элементарной напряженности на оси OX и OY получены в примере 19.1. Интегрируя соотношения (19.7) и (19.8), находим проекции (компоненты) искомого вектора E на оси OX и OY:
+ CX2
г. f V cos а da у , • . • ч /mm
-a,
+ a.
г. С у sin a da у , .
E11= \ —.-= -.—-—(cos a,—cosa„).
(19.10)
Легко показать, что поле прямой бесконечной нити (19.4) является частным случаем поля отрезка. Действительно, при ulx=—я/2 и а2=+я/2 из (19.9) и (19.10) получаем Ех=у/(2пе0г0) и Ey=O1 что совпадает с (19.4).
<- Г° ¦>
19.3
19.4
Получив выражения для напряженностей полей отрезка и нити, мы можем теперь поставить десятки задач на расчет поля, созданного различными комбинациями равномерно заряженных отрезков, бесконечных и полубесконечных нитей (поле «треугольника», «квадрата», «угла» и т. д.).
ПО
Пример 19.3 Бесконечная прямая нить, равномерно заряженная электричеством с линейной плотностью Y1= =+3-\0~г Кл/м, и отрезок длины 1=20 см, равномерно заряженный электричеством с линейной плотностью у2=+2 •1O-7- Кл/м, расположены в одной плоскости перпендикулярно друг к другу на расстоянии г0=10 см (рис. 19.4). Определить силу взаимодействия между ними. Решение. В физическую систему включим два тела: нить и отрезок. Никакое из этих тел нельзя принять за материальную точку. Физическое явление заключается в воздействии поля нити на заряд отрезка. Необходимо определить силу этого взаимодействия. Заряд Qa=W, находящийся на отрезке, расположен в электрическом поле нити, которое известно (см. (19.4)).
Казалось бы, для нахождения силы, действующей на заряд, можно воспользоваться формулой F=Q2E, где E=yj{2ne0r0). Такое решение, однако, будет неверным, ибо эта формула применима или для однородного электрического поля (поле же нити неоднородно: E^const), или для точечного заряда (у нас заряд Q2 неточный). На различные (но равные по длине) участки отрезка I действуют различные силы. Поэтому для расчета силы, с которой неоднородное поле нити действует на неточечный заряд Q2, применим метод ДИ. Разделим отрезок I на столь малые части dx, что заряд dQ=Y2dx каждого такого участка можно считать точечным. Заряд dQ находится в электрическом поле нити. Поскольку этот заряд точечный, на него действует сила
где X — расстояние заряда dQ от нити.
