Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
где d)l=pElJ. Отсюда искомый период
Для расчета симметричных полей (напряженность поля цилиндрической бесконечной поверхности, бесконечного
114
цилиндра, шара и т. д.) целесообразнее применять теорему Гаусса.
Пример 19.6 Прямой бесконечный цилиндр радиуса R0=IO см равномерно заряжен электричеством с поверхностной плотностью заряда о= + 10~~12 Кл/м2. Цилиндр является источником электронов. Вектор скорости вылетающего электрона перпендикулярен поверхности цилиндра. Какова должна быть скорость электронов, чтобы они могли удалиться от оси на расстояние, большее г=10s м?
Решение. Физическая система состоит из двух тел: заряженного положительным зарядом цилиндра и электрона. Физическое явление заключается в замедленном движении электрона в электрическом поле цилиндра. Необходимо найти один из параметров его движения (скорость).
Для описания движения электрона необходимо сначала определить напряженность поля цилиндра. Заряд на цилиндре неточечный. Применим теорему Гаусса. Окружим цилиндр цилиндрической (соосной с цилиндром) поверхностью произвольного радиуса r>R0 (рис. 19.7). В силу симметрии вектор напряженности E поля цилиндра в любой точке перпендикулярен построенной цилиндрической поверхности. Следовательно, поток вектора E через цилиндрическую поверхность длины L
ФЕ=2пгЬЕ.
По теореме Гаусса находим
2nrLE=2nRQLo/&Qf
I
19.7
19.8
отсюда E =
R0O
(19.18)
115
Далее, применяя динамический метод, по второму закону Ньютона получаем
где те—масса электрона, е — его заряд. Задача физически решена.
Она была бы решена окончательно, если бы мы решили это дифференциальное уравнение и получили закон движения электрона r=r(t). Далее, зная закон движения, можно было бы найти закон изменения скорости электрона
v=r(t) и т. д. Применим закон сохранения энергии. По этому закону,
^-е%=-ец>, (19.19)
где Cp0— потенциал цилиндра, ф — потенциал поля цилиндра на расстоянии г от оси цилиндра. Используя связь
E = —между напряженностью E и потенциалом ф и
учитывая (19.18), получаем дифференциальное уравнение
R0Q__ dqp
е0г ~~~ dr
Интегрируя это уравнение, находим
Ф = -^1пг + с, (19.20)
где с — произвольная постоянная. Отсюда R0o
Из системы уравнений (19.19), (19.20) и (19.21) определяем искомую начальную скорость электронов:
щ= ^55S1 ^3,7-1« м/с.
В заключение этого параграфа рассмотрим такую задачу. Пример 19.7 Шар ив диэлектрика (е«1) просверлен по диаметру. Из этой полости откачан воздух. В полость помещен электрон. Какой положительный заряд необходимо сообщить шару, чтобы при его равномерном объемном распределении электрон совершал в полости гармонические колебания с заданной частотой v0? Принять, что площадь поперечного сечения полости S<^nR*, где R — радиус шара.
Фо = -^1пЯ0 + с. (19.21)
№
Решение. Эта задача практически идентична примеру (12.1) о колебаниях тела в шахте Земли. Для ее решения необходимо рассчитать напряженность электрического поля внутри шара. Применим теорему Гаусса. Пусть объемная плотность заряда p=3Q/(4jt/?3). Через произвольную точку, удаленную от центра шара на расстояние х, проведем сферу радиуса х, центр которой расположен в центре шара О (рис. 19.8). Поток вектора E (в силу симметрии поля) через поверхность сферы
ФЕ=Е-4лх2. По теореме Гаусса,
Зе0
Отсюда
П Зе0 Х'
Таким образом, на электрон действует сила Зе0 х'
По второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний электрона:
ре
Следовательно, угловая частота со0==|/ре/(3є0тв). Учитывая, что соо=2ял>0, находим искомую объемную плотность заряда:
p=\2n4Qv\mele
и заряд:
Q=V8^3P.
Для v0 = 106 Гц = 1 МГц и R = Ю-1 м расчет дает р« »6-Ю-9 Кл/м3, Q»2,4-10-u Кл.
§ 20. Электростатическое поле в диэлектриках
При рассмотрении электростатического поля в диэлектриках используют теорему Гаусса
§ DdS=2 (20Л)
117
где вектор электрического смещения
D=e0E+P, (20.2)
EQj — сумма свободных зарядов внутри поверхности S, P — поляризованность.
Напряженность E электрического поля в диэлектрике и поляризованность P связаны соотношением
P=B0 (є—I)E. (20.3)
Таким образом,
D=e0eE. (20.4)
По принципу суперпозиции напряженность электрического поля E в диэлектрике является геометрической суммой напряженностей полей свободных E0 и связанных E' зарядов:
Е=Е0+Е\ (20.5)
Поверхностная плотность связанных зарядов
а'_Рп_Єо(є-1)_п, (20.6)
где Pn и En—нормальные составляющие поляризованности и напряженности.
При расчете поля в диэлектриках целесообразно использовать следующие два метода.
Первый метод основан на принципе суперпозиции (20.5) (в дальнейшем для краткости будем называть его методом суперпозиции). Здесь сначала рассчитывают поле свободных, или (как иногда их называют) «сторонних», зарядов E0. Затем определяют поле связанных зарядов Е\ Далее по (20.5) находят напряженность E поля в диэлектрике. Таким же образом можно непосредственно получить выражение для потенциала ср поля в диэлектрике. Заметим, что не все так просто в этом методе, как может показаться на первый взгляд. Нередко приходится использовать метод ДИ (см. § 6), встречаются трудности при определении плотности связанных зарядов о' (она по (20.6) зависит от En, которая является неизвестной) и их напряженности поля E', а также ряд других «тонкостей», примеры которых будут приведены в дальнейшем.
