Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беликов Б.С. -> "Решение задач по физике. Общие методы" -> 33

Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.

Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы — М.: Высшая школа, 1986. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): reshenzadach1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 75 >> Следующая

Решение. Физическая система состоит из кольца и его поля тяготения. Необходимо решить основную задачу поля тяготения — рассчитать поле кольца. Но кольцо нель* зя считать материальной точкой и, следовательно, формула (16.4) неприменима.
Используем метод ДИ. Разделим кольцо на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой. Рассмотрим один такой элемент dl=Rdq> (рис. 18.2). Он создает поле тяготения, вектор напряженности которого в точке А равен dE, а его модуль
(18.1Ij
ь
Al ^
где dM = 2^%dl—масса элемента dl. Вектор dE составляв
угол а с осью OX и угол ср с осью OZ. Проекция вектора dJ
100
на ось OX
аЬх = -р>2+х2 cosa =
GMx dq>
После интегрирования (18.2) по углу <р находим проекцию искомого вектора напряженности на ось ОХ:
2л 2л
GMxAy GMx С ,„ GMx
о
2n(R2 + x2)a/:
rJd<p =
(Я2 + *2)'/*
(18.3)
Легко видеть, что в силу симметрии сумма проекций элементарных напряженностей на оси OY и OZ равны нулю: Еу=0, EZ=O. Следовательно, искомый вектор напряженности направлен вдоль оси OX и его модуль выражается формулой (18.3). После расчета напряженности поля кольца можно поставить ряд задач на движение тел в этом поле.
Ki

mfr IA
0 ayV Д
-<— .* ^ x
18.2
18.3
Пример 18.3 Описать движение материальной точки массы т, первоначально находившейся в покое в точке O1, расположенной на оси тонкого кольца массы M и радиуса R на расстоянии x0<^.R от плоскости кольца. Принять, что т<^М (рис. 18.3).
Решение. Описать движение материальной точки в известном поле тяготения — это значит найти закон ее движения. Это основная задача динамики.
Используя динамический метод по второму закону Ньютона, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
тх =
GMm R9
х.
(18.4)
101
Здесь учтено, что при x<^.R напряженность (18.3) поля тяготения кольца E х- Таким образом, материальная точка совершает гармонические колебания по закону х=
=xQ sin((o0*+ao), период которых T=2nRVRI(GM).
Если условие x0<^.R не выполняется, то тем же динамическим методом находим более сложное дифференциальное уравнение
GmM /ю сч
—+ Х> ( )
после решения которого можно было бы получить закон движения х=х(t). Используя закон сохранения энергии, можно было бы найти зависимость скорости v материальной точки от координаты х. Но для этого необходимо определить потенциал поля тяготения кольца, применяя или метод ДИ, или формулу (16.6).
Усложним условия примера 18.2: рассчитать поле полукольца в той же точке. Легко видеть, что в этом случае проекция результирующего вектора напряженности на ось OX уменьшится в два раза:
Но самым важным является то, что вследствие нарушения симметрии возникает отличная от нуля проекция E2 этого, вектора на ось OZ. Так как ]
j р _GM sin et cos ф d/_ GMR cos ф d(p л я 7V
to
+ л/2
F-C cM/?cos(pd<p — GMR /10 ov
z~ ) 2ti(R* + x*)3/* ~ n(Ru + x2y/* * llo-oJj
-я/2 j
Заметим, что в силу симметрии Еу=0.
Можно еще более усложнить условия примера 18.2 рассчитать поле четверти кольца, дуги с центральным уг лом ф<Сл/2 и т. д. Все эти задачи могут быть решены те» же методом.
Применим полученные результаты к расчету поля полу| сферы.
Пример 18.4 Сфера массы M и радиуса R разделена на две полусферы плоскостью, проходящей через ее цент Определить потенциал поля тяготения каждой пол>
102
сферы в точке О, расположенной на прямой (перпендикулярной делящей плоскости и проходящей через центр сферы) на расстоянии x>R от центра сферы (рис. 18.4).
18.4
Решение. Для расчета поля тяготения каждой полусферы (не материальные точки) применим метод ДИ. Разделим каждую полусферу на узкие кольца ширины RdQ и радиуса R sin 6. Рассмотрим одно такое кольцо. Его площадь
dS=2jiflsin e.#d9=2tt#2sin0de, (18.9)
а масса
dM =
dS
4я#2
M =
M sin Є d0
(18.10)
Так как все элементы этого кольца находятся на одинаковом расстоянии / от точки О, то элементарный потенциал поля тяготения этого кольца в точке О
du = — О — =
GM sin BdQ
I
(18.11)
Из треугольника АВО, по теореме косинусов, /2__^2+х2_2 cos е. (18.12)
После дифференцирования последнего соотношения 2ldl=2Rx sin QdQ
находим, что
sin QdQ = IdIf(Rx).
Подставив это соотношение в (18.11), окончательно получаем выражение для элементарного потенциала du как
103
функции одного переменного Il
dU==-2ЇЇГ' (1813)
Можно было бы выразить элементарный потенциал как функцию одного переменного угла 0 (исключив / из (18.11) с помощью (18.12)). В этом случае последующее интегрирование будет более сложным, чем интегрирование соотношения (18.13).
Обозначив Ui потенциал правой полусферы, U2- потенциал левой, после интегрирования (18.13) находим
x-R x+R
(18.14)
V R* + x*
(18.15)
Сложив (18.14) и (18.15), получим выражение для потенциала поля тяготения сферы в точке, расположенной вне сферы:
U=Ui+U*=—GM/x. (18.16)
Тем же методом можно рассмотреть случай, когда x<CR. Так же можно рассчитать поле тяготения вне и внутри однородного шара, что было частично сделано в задаче о колебаниях тела в шахте (см. пример 12.1) и т. д. В заключение этого параграфа рассмотрим такую задачу.
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed