Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беликов Б.С. -> "Решение задач по физике. Общие методы" -> 42

Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.

Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы — М.: Высшая школа, 1986. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): reshenzadach1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 75 >> Следующая

Решение. По методу зеркальных изображений поле данного диполя и зарядов, индуцированных на плоскости, эквивалентно полю двух диполей: данного и его зеркального изображения в плоскости (рис. 21.2). Диполи находятся на расстоянии 21 друг от друга. Таким образом, искомая сила F — это сила, с которой диполь-изображение действует на данный диполь. Нетрудно доказать, что на оси диполя на расстоянии r^>U (длины диполя) напряженность поля

E =
4яе0г3
Следовательно, сила, действующая на данный диполь, где
F1 = QE1 =
4яе0га
— сила, действующая на отрицательный заряд данного диполя, а
Л- QE,= 2'Q
4я80 (г-1-Z1)3
— сила, действующая на его положительный заряд. У*. тывая, что г=21 и p=Qh, 2/>/ь после несложных преобр| зований получаем
32яе0/4 "
134
Пример 21.3 Тонкая бесконечно длинная нить равномерно заряжена электричеством с линейной плотностью т и расположена параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии I от нее (рис. 21.3). Найти: а) модуль вектора силы, действующей на участок нити единичной длины; б) распределение поверхностной плотности заряда о(х) на плоскости, где х — расстояние от плоскости, перпендикулярной проводящей поверх* ности и проходящей через нить.
21.3
Решение. Легко видеть, что для определения силы, действующей на участок нити единичной длины, необходимо рассчитать поле ее изображения (рис. 21.3). Но поле нити нетрудно найти, хотя бы по теорме Гаусса (см. (19.4)):
2яе„г
В нашем случае г=21. Таким образом, сила, действующая на участок нити единичной длины,
г2
F = Et =
4яєп/
Для ответа на второй вопрос определим поле нити и ее изображения в точке А (рис. 21.3):
? 2т/ т/
2яє0 (х2 + /2) ле0(х2 + /2)'
135
Поле Е-ъ индуцированных зарядов вблизи проводящей плоскости (вне ее) найдем по теореме Гаусса:
Е_=о7є0. (21.1)
Индуцированные заряды распределяются так, что их поле внутри плоскости компенсирует внешнее поле Ei (напряженность поля внутри проводника, расположенного в электростатическом поле, равна нулю):
Е_+Е,=0. (21.2)
Следовательно,
хі
O =
я (*2+/2) *
Таким образом, в методе зеркальных изображений .чаще всего необходимо рассчитывать характеристики поля данных зарядов и их изображений, т. е. решать основную задачу теории поля.
Пример 21.4 Очень длинная прямая нить, равномерно заряженная электричеством с линейной плотностью т, расположена перпендикулярно безграничной проводящей плоскости и не доходит до этой плоскости на расстояние I (рис. 21.4). Пусть точка О — след нити на плоскости. Определить поверхностную плотность индуцированного заряда на плоскости: а) в точке О, б) в зависимости от расстояния х до точки О. Решение. Используя метод зеркальных изображений, рассчитаем сначала поле нити и ее изображения в точке О. Для определения поля одной нити на ее оси применим метод ДИ. Элементарная напряженность dE точечного заряда dQ=xdr элемента нити dr в произвольной точке на оси нити на расстоянии г от него (рис. 21.4) составляет
dE = dQ —_ Tdr Отсюда после интегрирования получаем
OD
С г йг
E =
J 4лє0/-2 4яє0г *
В нашем случае г=1. Таким образом, напряженность E^ поля нити и ее изображения в точке О
136
Учитывая (21.1) и (21.2), находим плотность O0 зарядов на плоскости в точке О:
_ т
Определим теперь плотность о индуцированных зарядов на плоскости в точке А (рис. 21.5), находящейся от точки О на расстоянии х. Для этого снова необходимо рассчитать
21.4 * 21.5
поле нити и ее изображения, но уже в точке А. Применяя метод ДИ, находим модуль вектора dE элементарной напряженности точечного заряда dQ=xd/ элемента dl одной нити, расположенного от точки А на расстоянии г:
= d(? = Td/ 4ле0/-2 4яе(/2'
Так как d/=rda/cosa, r=x/cosa, то
¦ г т da
dt = -.-.
4л80д;
Из рис. 21.5 видно, что результирующий вектор напряженности поля нити и ее изображения в точке А направлен вдоль оси OY и, следовательно, Ex=O. Поэтому найдем только проекцию dEy вектора dE:
,г- je- TSinada dElt = dE sin a = —-.-.
Отсюда после интегрирования получаем проекцию вектора напряженности поля нити на ось OY:
я/2
т sin a da т cos at
4яє0х 4ле0х
CC1
137
Таким образом, напряженность поля нити и ее изображения в точке А
E =2Е = т cos ai —_1_
Учитывая (21.1) и (21.2), определяем поверхностную плотность индуцированных на плоскости зарядов:
т
O =-г;- .
2я (/2 + х2) /а
Легко видеть, ЧТО O=O0 при JC=O.
Пример 21.5 Тонкое кольцо радиуса R, равномерно заряженное зарядом Q, и проводящая сфера расположены так, что центр сферы О находится на оси кольца на расстоянии I от плоскости кольца (рис. 21.6). Определить потенциал сферы.
Решение. Проводник (сфера) находится в поле кольца. Необходимо рассчитать потенциал проводника. Это основная задача теории поля. Так как поле несимметрично, то сомнительно, что теорема Гаусса приведет к хорошим результатам.
Применим метод суперпозиции. На проводящей сфере возникают индуцированные заряды —Q' и +Q". Результирующее поле создается тремя зарядами: Q, —Q' и +Q". Следовательно, по принципу суперпозиции, потенциал проводящей сферы Ф=фі+Ф2+Фз> где фі, ф2 и фд — потенциалы полей, созданных соответственно зарядами Q, —Q'
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed