Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
^=4^7- (20-25)
В (20.25) уже учтено, что заряд dQ расположен в диэлектрике.
Формула (20.25) в самом методе суперпозиции обосновывается следующим образом. Потенциал в точке А соз-
20.5 20.6
дается свободным зарядом dQ и связанным зарядом —dQ'=—[(є—l)/e]dQ, расположенным на сфере радиуса х. Результирующий потенциал этих зарядов в точке А
, dQ dQ' ^ dQ (e-l)dQ_ dQ ™ 4ле0г 4л80г 4ле0г 4Л808Г 4ле0ег '
что совпадает с (20.25).
Интегрируя (20.25) по # в пределах от Rx до г, находим потенциал фі, созданный в точке А зарядом первого подслоя:
Rl
126
Рассмотрим элементарный сферический слой толщины dx во втором подслое (рис. 20.6). Его элементарный потенциал в точке А (по 20.15)!)
d(P=4^' (20-27)
Учитывая (20.24) и интегрируя (20.27) по х в пределах от г и R2, определяем потенциал ф2, созданный в точке А зарядом второго подслоя:
_ С 4ярл:2 йх __ pRt__рг
г
4я808л; 2е0е 2е0е
(20.28)
Наконец, потенциал ф3, созданный в точке А связанным зарядом Q' (см. (20.23)), по (20.15) составляет
Таким образом, общий потенциал в точке А
Ф = Фі + Фа + Фз = -з^е(х+г) + С» (20'3°)
где постоянная
/у... PR* i (8—1)(^2 —¦Rl)P /олсмч
Преобразуем постоянную С к виду, который понадобится нам в дальнейшем:
?-?^+*?^. (20.32,
Зная распределение потенциала (20.30), можно определить значения потенциала на внешней поверхности шара:
*<«¦> — зЬ(#+ж)+С
и на его внутренней поверхности!
Потенциал в центре шара ф0 равен потенциалу на внутренней поверхности ф(і?і).
127
Метод Гаусса. По теореме Гаусса определяем модуль вектора электрического смещения в точке А (рис. 20.6):
/Мяг»««/,я(г»—/?ї)р,
Далее, находим напряженность поля в этой же точке:
<2о-з4>
Затем после интегрирования соотношения E=—clcp/dr получаем распределение потенциала в шаре:
•--Ш'--Й*--?(4-+4К
(20.35)
Постоянную интегрирования Ci найдем из условия непрерывности потенциала и того обстоятельства, что потенциал ф(/?2) на внешней поверхности шара определяется только свободным зарядом Q (20.22):
а><п\^ Q -Аз-дар
Подставляя это значение в (20.35)
{Rl-RbP_ P / Rl і. ^3Л і Г Зє0/?2 ~ Зє0є\ 2 "*"/?,/"1^ f*
получаем значение произвольной постоянной:
Cl= Зє0/?2 +-u0JRl-• (2U-3b)
Таким образом, окончательно
что совпадает со значением потенциала ф (20.30), найденного методом суперпозиции, если учесть значение постоянной С (20.32).
Можно усложнить решенную задачу, поместив, например, в полость металлический или диэлектрический шар (с другой диэлектрической постоянной Єї), заряженный по объему с другой плотностью pi или незаряженный и т. д. В частности, из (20.37) можно получить распределение по-
129
тенциала внутри равномерно заряженного сплошного шара радиуса R:
~~ б8„є ~Г Зє0 \ ^ 2е / и значение потенциала в центре шара:
Все эти и подобные им задачи могут быть решены или методом суперпозиции, или методом Гаусса.
Нетрудно заметить, что во всех решенных нами задачах метод Гаусса действительно приводил к цели быстрее и їіроще, чем метод суперпозиции. Но не будем спешить с выводами, а лучше рассмотрим еще несколько задач.
Пример 20.5 Достаточно длинный круглый цилиндр из однородного и изотропного диэлектрика с известной диэлектрической постоянной є расположен в однородном поле с напряженностью E0 так, что ось цилиндра совпадает с направлением E0 (рис. 20.7). Определить напряженность электрического поля вблизи цилиндра (внутри и вне цилиндра).
_lg
20.7
Решение. Легко видеть, что метод Гаусса оказывается бесплодным. Применяя теорему Гаусса, мы получаем тривиальное тождество Dx=D2, выражающее непрерывность нормальных составляющих вектора электрического смещения. Применим метод суперпозиции. Обозначим Ei напряженность поля внутри цилиндра и E2 — вне его. Вследствие явления поляризации диэлектрика на основаниях цилиндра образуются связанные заряды —Q' и +Q' с плотностью о'. Результирующие напряженности Ei и E2 являются геометрическими суммами напряженности E0 внешнего поля и напряженностей полей, созданных связанными зарядами —QL и +Q'.
Расшифруем теперь понятие «достаточно длинный цилиндр». Достаточно длинный — это такой цилиндр, длина которого столь велика, что поле, например, заряда +Q' мало в области заряда —Q' (им можно пренебречь по срав-
129
ненщо с полем заряда —Q'), и наоборот. Таким образом, Ei=Eo—E', Е2=Е0+Е',
где E' — напряженность поля заряда —Q' (или +Q').
Определим E'. Это поле равномерно заряженного диска. Применяя метод ДИ, находим (см. рис. 20.7, а также пример 18.5 и формулу (18.20)) проекцию элементарного вектора напряженности тонкого кольца на ось диска (ось ОХ):
dQ'X _ 2лга'хdr
х~~ 4я80 (г2+*2)3'2 ~ 4яе0 (г2 + *2)3/2 *
Отсюда после интегрирования по переменной г от 0 до R (радиус диска) определяем напряженность поля диска (или поля связанного заряда —Q'):
E' = Ех = \ °'xrdr ч/~4-\\--И-"1- (20-38)
Из (20.38), между прочим, следует, что ?"»0 при достаточно большом х. Таким образом, данная выше расшифровка понятия «достаточно длинный цилиндр» обоснована. Вблизи основания цилиндра х~0 и
