Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беликов Б.С. -> "Решение задач по физике. Общие методы" -> 39

Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.

Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы — М.: Высшая школа, 1986. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): reshenzadach1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 75 >> Следующая

20.3
Решение. Метод суперпозиции. Результирующее поле создается свободными зарядами Qi и Q2 и связанными зарядами Q[ и Ql (рис. 20.3). Для нахождения Q[ и Q[ необходимо знать напряженность Е(г) поля в диэлектрике. Эту величину можно получить по теореме Гаусса:
?<'>=ет- <20-13)
122
Пусть а{ и (ті' — поверхностные плотности связанных зарядов соответственно Qi и Qi. Тогда по (20.6) и (20.13) имеем
°*i = ео (8 0 ^nI = ~. IS^ »
4Я8Кі
Таким образом,
Qi = o^/?2 = (e~1)Ql; Q^o^jt/?2 = *8"0 Qi. (20.14)
? ?
Известно, что для равномерно заряженной сферы радиуса R в любой точке внутри и на поверхности сферы потенциал поля (в вакууме)
»-таЬг. (2а15)
а для точки вне сферы
•P=W- (20Л6>
где Q — заряд сферы, г — расстояние точки от центра сферы О. Так как заряды (Qi, Q2, Qi, Ql), создающие поле, расположены на сферических поверхностях, то по принципу суперпозиции и с учетом (20.14), (20.15) и (20.16) определяем потенциал фоі в точке Л, удаленной от центра на расстояние T1.
_ Qi , (8-0Q1 (е-I)Qx . Q2
¦ +
4TCB0R1 ' 4яе0е/?і 4я80е/?2 4яе0/?2 _ Q1 (.-i>«..+ 0. (20.17)
4TCe0ER1 4яе08/?2 1 4яє0/?2* потенциал ф02; в точке В, удаленной от центра на расстоя-
нии г2:
Qi ,(е-I)Qi (e-l)Qi , Q2
4ле0г2 4Ke0Er2 4яе0е/?2 1 4яє0#2
Ql (8_')Q'+^. (20-18)
4яе08/-2 4я80Є/?2 1 4Я807?2 '
Д2а
и потенциал ф03 в точке С, расположенной от центра на расстоянии л3:
Qi , (е-I)Qi (е-I)Q1 . Q2
03 4яє0г3 ^ 4яє0єг8 4яе0єг3 1 4яє0г8
Qi , Q2 (20 19)
4яє0га 4яє0г3'
Метод Гаусса. По теореме Гаусса находим напряженности Е0і, E02, ?ог в точках А, В и С:
E01 = O, Е02=-^-2, (20.20)
4яє0ег2 4яє0г3
Так как в нашем случае потенциал ф непрерывен, то, используя связь (16.6) между напряженностью и потенциалом, можно было бы определить значения потенциала в любой точке, если бы мы знали потенциал в какой-либо точке. Таким потенциалом является ф03 (20.19), ибо он создается свободными зарядами Qi и Q2, или потенциал на поверхности второй сферы
Интегрируя (20.13) по г в пределах от гъ до R2, получаем
+ ф (/?,)-ф (r2) = .
Отсюда определяем ц>(г2)==ц>02' m Qi (е-I)Qi , Q2
ф(>2 Artoer. Arto.bd. '
4яе0єг2 4яе0є/?2 4ЯЄ0/?2 '
что совпадает с результатом (20.18), полученным методом суперпозиции.
Интегрируя (20.13) в пределах от Rx по га, находим
Ф (га)—ф (R1)« шж-щ^ *
Отсюда определяем ф(/?і)=ф0
_ Q1 (S-I)Q1, Q2
^01 4Я808/?! 4ЯБ0є/?2 * 4Я80/?2 *
что совпадает с результатом (20.17), найденным методом суперпозиции.
Можно усложнить решенную задачу, введя еще одну или несколько заряженных концентрических сфер, поместив между ними, а также внутри первой сферы различные ди-
124
электрики. Легко видеть, что все эти задачи могут быть решены или методом суперпозиции, или методом Гаусса.
Рассмотрим задачу, при решении которой методом суперпозиции необходимо быть особенно внимательным и тщательнейшим образом анализировать и рассчитывать поля различных зарядов.
Пример 20.4 Стеклянный (є=7) толстостенный полый шар равномерно заряжен по объему с плотностью р = 1,5 мкКл/м3. Внутренний радиус шара Ri=2 см, наружный R2=Q см. Найти распределение потенциала в стекле, а также вычислить потенциалы ср наружной, внутренней поверхностей и центра шара. Решение. Метод суперпозиции. Найдем сначала распределение потенциала в стекле, т. е. потенциал в произвольной точке А, удаленной от центра шара на расстояние г, причем /?2>г>/?1 (рис. 20.4). Какими зарядами создается поле в диэлектрике? Это, во-первых, сторонний объемный заряд диэлектрика
Q = Vs^(Rl-Rl)P (20.22)
и, во-вторых, связанный заряд Q' на внешней поверхности шара, который по (20.14) составляет
Q' = ie~^ Q. (20.23)
Найдем в точке А потенци- 20-4
ал поля, созданного объемным
зарядом Q. Заряд этот неточечный, и необходимо использовать метод ДИ. Но при формальном применении этого метода мы можем получить неверный результат. Вследствие симметричности распределения заряда Q разделим сферический слой на тонкие концентрические сферические слои столь малой толщины dx, чтобы элементарный заряд
dQ=4nx*dxp (20.24)
(где X — радиус слоя) каждого такого слоя можно было считать распределенным по сфере. Тогда результирующий потенциал в точке А по принципу суперпозиции равен сумме потенциалов полей, созданных элементарными зарядами этих сфер. Но элементарный потенциал сферы в точке А должен вычисляться по разным (!) формулам (20.15) или
125
(20.16) в зависимости от того, какой является точка А для этой сферы — внутренней или внешней.
Для учета этого обстоятельства проведем через точку А сферу радиуса г с центром в точке О (рис. 20.4). Эта сфера разделит шаровой слой на два подслоя: подслой с радиусами Ri и г и подслой с радиусами г и R2. В первом из них для всех элементарных сфер точка А — внешняя, а во втором — внутренняя. Рассмотрим элементарный сферический слой толщиной dx в первом подслое (рис. 20.5). Его элементарный потенциал в точке А (по (20.16)!)
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed