Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 18.5 На оси планетарной туманности на расстоянии г0=Ы от центра масс туманности находится космический корабль с выключенными двигателями. Через сколько времени корабль достигнет туманности, двигаясь к ней только под действием ее силы тяготения? Считать туманность диском диаметром d=10-2 Пс, толщиной я=10_3 Пс с однородным распределением вещества плотности р=10~17 кг/м3. Начальную скорость корабля относительно туманности принять равной V0=O. Масса корабля /тс = 105 кг (1 Пс=3,08-1013 км= =3,08-1016 м).
Решение. Физическая система состоит из двух физических объектов: туманности и космического корабля. Корабль можно считать материальной точкой. Так как
104
толщина туманности мала и по сравнению с расстоянием г0, и по сравнению с диаметром туманности, то будем приближенно считать туманность тонким диском. Происходит движение материальной точки (корабля) в поле тяготения туманности (диск—не материальная точка). Необходимо определить время движения корабля. Для этого надо знать закон его движения. Закон движения можно определить динамическим методом, если будет известно поле (напряженность) тяготения туманности.
Итак, план решения задачи известен: сначала необходимо рассчитать напряженность поля тяготения тонкого диска (туманности) массой
Мт=шМр/4. (18.17)
Затем динамическим методом нужно определить закон движения корабля и далее из закона движения найти время движения.
18.5
Рассчитаем напряженность поля тяготения диска. Применим метод ДИ. Разделим диск на тонкие кольца шириной dr. Рассмотрим одно такое кольцо радиуса г (рис. 18.5). Его масса
dM=2nrhpdr. (18.18)
По формуле (18.3) найдем элементарную напряженность поля тяготения кольца:
2nGr0ftpr dr
(18.19)
После интегрирования (18.19) определим напряженность поля тяготения туманности:
? Г 2nGr0phr dr т=° J lr~2
2nGph^l
l
(18.20)
105
Далее, применяя динамический метод, по второму закону Ньютона получим дифференциальное уравнение
после решения которого можно было бы найти закон движения корабля x=x(t) и, следовательно, время движения ^0.
Но, оказывается, в данной задаче и не нужно было составлять дифференциальное уравнение (18.21) и тем более его решатьі Искомое время движения можно определить приближенно, используя средства более скромные, чем те, которыми мы воспользовались при решении данной задачи. Мы имеем в виду метод оценки. Прежде всего оценим массу туманности. Из (18.17) получаем
/WT=Ju/2/ip/2, или Мт«2-1025 кг.
Таким образом, масса туманности весьма мала: она меньше массы Солнца Мс=2-1030 кг на пять порядков. Учитывая, что размеры туманности велики (толщина туманности fi=3« 1013 м в несколько раз больше диаметра d0«l,2-1013 м Солнечной системы), нетрудно предсказать, что поле тяготения, создаваемое такой туманностью, даже на ее границах весьма слабо.
Оценим порядок величины напряженности Ет для двух значений rQ: I) /-0=5d и 2) г0жО (на границе туманности). Из (18.20) находим ^10"1S м/с2 и ?';«10-13 м/с2. Эти значения напряженностей чрезвычайно малы. Если космический корабль движется даже с максимальным ускорением a=E'j, то для прохождения пути s=I м ему потребуется время
I1 = V2s/E;, «4,5-10е с» 52 сут,
а на преодоление расстояния r0=5d время
что составляет около 1,7•1O1* с, или 5-10е лет.
Таким образом, в таком слабом поле тяготения космический корабль практически находится в состоянии покоя. Вот каков оценочный результат решения данной задачи. Он весьма поучителен и показывает, что иногда, прежде чем применять физические законы и составлять (дифференциальные) уравнения, полезно оценить порядок некоторых величин и проанализировать (сравнить) полученные результаты.
(18.21)
t0 = V5d!E:
т>
106
глава 6
электрическое поле
§ 19. Электростатическое поле в вакууме
Фундаментальным законом электростатического поля является закон Кулона
Р = ('9-І)
Он справедлив для точечных и неподвижных электрических зарядов. Закон Кулона по форме очень похож на закон всемирного тяготения Ньютона. Поэтому почти все, что было сказано в гл. 5 о поле тяготения, можно буквально повторить и для электростатического поля.
Основными характеристиками электростатического поля являются напряженность E и потенциал ср. Для поля, созданного точечным зарядом,
е = ш^' <19'2>
•P=W- (19-3>
Напряженность E и потенциал ср электростатического поля связаны соотношением (16.6).
Состояние электростатического поля как физической системы определяется значением вектора напряженности в любой точке поля. Следовательно, основная задача электростатики заключается в расчете электрического поля. Здесь полезно различать три случая:
1) поле создано системой точечных зарядов;
2) поле создано системой точечных и неточечных зарядов, расположенных на телах правильной геометрической формы;
3) поле создано произвольным распределением зарядов. Хотя первый случай рассматривался в поле тяготения*
весьма полезно вначале рассчитать поля диполя (не только в точках, расположенных на его осях, но и в произвольной точке), квадруполя и других точечных систем. Во втором случае сначала по теореме Гаусса рассчитывают поля неточечных зарядов, а затем, используя принцип суперпозиции, определяют суммарное поле. При произвольном распределении зарядов используют метод ДИ (см. § 6).
