Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
где $=ac/R—угловое ускорение. Решая полученную систему уравнений, находим
яс=2/3?, ^h=5Z8 mg.
Отсюда ас»6,б м/с2; Fn «163 Н.
Усложним решенную задачу: пусть к закрепленному концу нити привязано тело (материальная точка) массой
14.2 14.3
/Tc1=I кг, которое может без трения двигаться по горизонтальной плоскости, а сама нить находится на невесомом блоке (рис. 14.3).
Обозначим та массу цилиндра. Применяя динамический метод, составляем замкнутую систему уравнений для поступательного движения материальной точки и цилиндра соответственно:
/7ZIa1=F11 и m2ac=m2g—Fn,
а также для вращательного движения цилиндра:
1Um2R^=FnR.
Ускорение ас центра масс цилиндра, ускорение ai материальной точки и угловое ускорение ? связаны соотношением
84
Решая полученную систему уравнений, находим: _ 2 + Pi2Zm1 m2/mj
"с "3 + mj/rn!8' ai= 3 + ma/mt*'
г ____ml__ о 2 + Qi2Zm1
н 3 + ,7I2Zm1«' H R(3 + m2/m{)8'
Подставляя числовые значения, получаем
йс»9,1 м/с2, а!«7,5 м/с2, FH«7,5 Н, ?«15,l рад/с2.
Можно еще более усложнить задачу, учитывая трение между телом Hi1 и горизонтальной плоскостью, принимая во внимание массу блока, считая его твердым телом и т. д. Все эти задачи могут быть решены тем же динамическим методом.
Изменим существенно условия примера 14.2, введя силу трения; точнее, эта сила (речь идет о силе трения покоя) необходимо возникает в условиях следующего примера и пренебрегать ею нельзя.
Пример 14.3 На сплошной цилиндр (диск) массы т = = 10 кг и радиуса # = 10 см намотана невесомая и нерастяжимая нить. Цилиндр может без скольжения двигаться по горизонтальной плоскости. К концу нити приложена постоянная горизонтальная сила F=30 H (рис. 14.4). Определить ускорение центра масс. Решение. Физическая система состоит из одного твердого тела — цилиндра. Центр масс цилиндра движется прямолинейно. Цилиндр вращается относительно подвижной оси, направление которой в процессе движения не изменяется. Необходимо найти ускорение центра масс. Это основная задача динамики твердого тела. Применяем динамический метод. Инерциаль- ____________
ную систему отсчета свя- у////////Щ/////%У///л жем с Землей, ось OX у? FTP
направим вправо, ось вра- ' щения параллельна оси 14.4
OZ. На цилиндр действуют четыре силы: сила натяжения нити (она равна данной силе F), сила тяжести mg и сила реакции опоры N (они взаимно уравновешивают друг друга) и сила трения покоя FTP.
85
Сила трения покоя может принимать любое значение, заключенное в пределах 0<g.FTV<g.fN, В данном случае она имеет такое значение из этого промежутка, чтобы не происходило проскальзывания (чистое качение).
По теореме о движении центра масс находим
mac=F+FTP.
Из уравнения движения относительно оси, проходящей через центр масс, получаем
V2mtf2?=(F-FTp)tf. Учитывая, что f>=acIR,
и решая полученную систему уравнений, находим
ac=3m"' F^ = 1I3F.
Подстановка числовых значений дает ас=4 м/с2, FTP=10H. Условие отсутствия скольжения принимает вид
43F^fmg,
отсюда получаем />F/(3mg)~0,l.
Если коэффициент трения меньше этого значения, наступает скольжение.
Усложним условия решенной задачи: пусть нить перекинута через невесомый блок и к ее концу привязан груз массой т2=20 кг (материальная точка), остальные условия (кроме силы F — она являетя теперь силой натяжения нити FH) те же; определить ускорение ас центра масс, ускорение а груза и силу натяжения нити (рис. 14.5).
Обозначим тх массу цилиндра. Применяя динамический метод, получаем следующие уравнения:
т2а=т2?—F11 (для поступательного движения груза),
miac=FH+FTp (по теореме о движении центра масс),
V2m#2?=(FH—FTV)R (из уравнения движения).
Ускорение груза и ускорение центра масс связаны соотношением a=ac+$R' Так как ac=??, то а=2ас.
Решая полученную систему уравнений, находим!
86
Отсюда получаем:
а«8,4 м/с2, ас«4,2 м/с2, /^»10,5 Н, FH«31,5 Н.
Можно еще более усложнить решенную задачу, если учесть, например, что блок имеет массу и является твердым телом, что цилиндр движется по наклонной, а не горизон-
ту
14.5
тальной поверхности, что материальная точка также движется по наклонной плоскости, и т. д., и т. п. Легко видеть, что все эти задачи могут быть решены одним и тем же динамическим методом.
§ 15. Законы сохранения в динамике твердого тела
Элементарная работа при повороте твердого тела на угол d<p составляет
аЛ=Маф, (15.1)
где M — момент сил относительно оси вращения. Полная работа находится интегрированием уравнения (15.1):
Фа
А = J Mdcp. (15.2)
Кинетическая энергия твердого тела при его произвольном движении складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения:
?K = /rtt>2/2 + /o>2/2, (15.3)
87
где vc— скорость поступательного движения. центра масс, / — момент инерции тела относительно оси вращения.
В динамике твердого тела наряду с законами сохранения импульса и энергии в механике применяется закон сохранения момента импульса. Этот закон вытекает из уравнения движения (14.3) относительно точки: если геометрическая сумма моментов внешних сил относительно точки 0 равна нулю, то момент импульса относительно этой точки постоянен:
