Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
90
делить один из параметров этого движения (число оборотов N до остановки). Эта основная задача динамики твердого тела.
Применим динамический метод. Центр масс диска находится в покое, а диск вращается. Из уравнения движения (14.7) получаем
*/2m#2?=M, (15.7)
где m=nR2hp — масса диска, h — его толщина, р — плотность материала диска, ? — угловое ускорение, a M — суммарный момент сил трения относительно оси.
Сила трения приложена к каждому участку диска, и так как эти участки находятся на различных расстояниях от оси, то и моменты сил трения, приложенных к этим участкам, различны. Для нахождения M применим метод ДИ. Разделим диск на достаточно узкие кольца (рис. 15.3), а каждое кольцо двумя соседними радиусами, образую- 15-3
щими достаточно малый угол
сир,— на малые элементы. На рис. 15.3 один такой элемент заштрихован. Сила трения, действующая на выделенный элемент,
dFTP=fdqrdrhpg.
Момент этой силы трения dM=rdFTP=/pg/ir2 dVckp.
Интегрируя по углу ф в пределах от нуля до 2я и по г от нуля до R, получаем суммарный момент сил трения:
2л R
M=JJ fpghr* dr dq> = /pg/і 2я#8/3 = gm/3. (15.8) о о
Подставляя это значение M в уравнение движения (15.7), находим угловое ускорение диска:
?=4fe/(3#).
Решая далее обратную задачу кинематики (кинематический метод), определяем закон изменения угловой скорости
o)=o)0-P* (15.9)
П
и закон движения?
Ф=ю0/—?/»/2. (15.10)
Учитывая, что конечная угловая скорость диска равна нулю (oj=0), из уравнения (15.9) находим время движения:
Подставляя это значение времени * в уравнение (15.10) и учитывая, что q>=2itN, получаем
N=mrg- (15Л1>
Отсюда вычисляем N«15.
Решим теперь эту задачу методом законов сохранения. В физическую систему включим два тела: диск и Землю. Система этих тел замкнута, и можно было бы применять закон сохранения энергии в механике, но в системе действуют неконсервативные силы трения. Считая эти силы внешними, по уравнению (13.16) находим
/со2/2 = Л, (15.12)
где J=1UmR2 — момент инерции диска, А—работа неконсервативных сил трения. Так как момент этих сил уже найден (см. 15.8), то по формуле (15.2) получаем
Подставляя это значение работы А в уравнение (15.12) и учитывая, что q>=2nN, находим
N = 3-?4-> 15,
что совпадает с формулой (15.11), найденной динамическим методом.
Заканчивая рассмотрение механической модели, мы видим, что любая стандартная поставленная задача из этого раздела может быть решена (не считая метода анализа физической ситуации задачи) сравнительно небольшим числої| универсальных методов: кинематический, динамический^ законов сохранения, дифференцирования и интегрирования*
є2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
ГЛАВА б
ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
§ 16. Основная задача в теории поля тяготения
Основной закон поля тяготения — закон всемирного тяготения Ньютона:
F=G^, (16.1)
где G«6,67« Ю-11 Н-м/кг2 — гравитационная постоянная. В форме (16.1) закон справедлив лишь для материальных точек и сферических тел. Этот
закон можно записать в век- rn, F,? тг
торном виде: • <
F11 «-G^ г, (16.2) 16.1
где Fi2— вектор силы тяготения, действующий на тело т2, г — радиус-вектор, проведенный из тела mx к телу т2 (рис. 16.1).
Основной характеристикой каждой точки поля тяготения является напряженность E — векторная величина, определяемая из уравнения
E=F/m0, (16.3)
где F — сила тяготения, действующая на материальную точку с массой т0, помещенную в данную точку.
Напряженность и потенциал поля тяготения, созданного материальной точкой массы т в точке, удаленной на расстояние г от этой массы, выражаются формулами
E=QmIr1, (16.4)
(р=—GmIr. (16.5)
Напряженность E и потенциал <р одной и той же точки поля тяготения связаны между собой соотношением
E=—gradq). (16.6)
Состояние рассматриваемой физической системы (поля тяготения) определяется значением вектора E в любой точке поля. Напряженность E поля тяготения является его
03
фундаментальной характеристикой в том смысле, что, зная Е, можно определить не только любой параметр, характеризующий само поле, но и описать поведение физических систем в этом поле. Действительно, из соотношения (16.6) можно определить потенциал <р, из уравнения (16.3) можно найти силу, с которой поле действует на тело, находящееся в этом поле. Если известны начальные условия для этого тела, то, применяя динамический метод, можно определить закон его движения. Зная же закон движения тела, можно найти все остальные характеристики и параметры, определяющие его движение. Отсюда следует формулировка основной задачи в теории поля тяготения. Она заключается в расчете поля. Рассчитать поле тяготения — это значит в каждой его точке определить вектор напряженности E или потенциал ф.
§ 17. Поле тяготения системы материальных точек
В основе метода расчета физических полей лежит фундаментальный физический принцип — принцип суперпозиции. В том случае, если поле создано системой материальных точек, сначала определяют поле (т. е. соответствующий вектор E1) для каждого тела отдельно. Затем по принципу суперпозиции находят результирующее поле (вектор E) как геометрическую сумму векторов напряженности:
