Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
80
тельно, метод его применения состоит из тех же операций. Векторное уравнение (14.1) эквивалентно трем уравнениям:
та CX = ^FX, maCy = ^]Fy, macz = %Fz. (14.2)
Для материальной точки и соответственно для твердого тела справедливо уравнение движения
L = 2M> (14.3)
где L=~-t 2М ~ геометрическая сумма моментов всех
внешних сил, действующих на твердое тело, относительно неподвижной точки О.
Если точку О считать началом декартовой системы координат, то, как обычно, векторное уравнение (14.3) эквивалентно трем уравнениям:
TT=L^ ^-L*.. <14-4>
где Lx, Ly, Lx— проекции вектора момента импульса L на оси координат. Их называют моментами импульса твердого тела относительно неподвижных осей ОХ, OY, OZ соответственно. Можно показать, что для материальной точки и для твердого тела
Lx=Jx^x, Ly=Jy(Oy, L2=J2Oi2, (14.5)
где Jx, Jy, J1— моменты инерции материальной точки и твердого тела относительно осей ОХ, OY, OZ соответственно, а а>х, wу, (s)z— проекции вектора угловой скорости со на те же оси.
С учетом (14.5) уравнения (14.4) можно записать в виде
U(jxVx) _ ал d(/yCoy)_M d (jz(oz) _ „ П4 6ч
dt —тх> dt ~тУ dt U4*-0/"
Если моменты инерции Jx, Jy и J2 постоянны, то уравнения движения приобретают вид
JxVx=Mx, Jy^y=My, J2^z=M2, (14.7)
* ^ ~dF' "у = "d/ ' Vz^~dT~~ проекции вектора углового ускорения на оси координат.
Эти уравнения называют уравнениями движения относительно неподвижных осей ОХ, OY, и OZ соответственно.
Твердое тело имеет шесть степеней свободы, поэтому для описания его движения необходимы шесть независимых уравнений. Таковыми и являются или два векторных урав-
81
нения (14.1) и (14.3), или эквивалентная им система шести уравнений (14.2) и (14.6). Метод применения законов (14.2) ничем не отличается от метода применения второго закона Ньютона. Метод применения законов (14.6) также очень похож на метод применения второго закона Ньютона, если к последнему добавить две дополнительные операции: нахождение момента инерции тела и момента внешних сил относительно соответствующей оси. Таким образом, динамический метод и для описания движения твердого тела остается практически тем же.
Пример 14.1 Рассмотрим упрощенную задачу из примера 11.2 и учтем, что блок в виде сплошного цилиндра радиуса R = IO см имеет массу т4=8 кг. Определить ускорение системы и силы натяжения нити. Решение. В физическую систему по-прежнему включим те же четыре тела: грузы массами ти т2, нить и блок
рана. На блок действуют две неравные силы натяжения: F'^=F'H. Остальные силы, действующие на блок, компенсируют друг друга. Моменты сил F„ и Fl относительно оси OZ составляют M2=^-FlR и M"Z=FIR. Момент инерции блока относительно этой же оси (сплошной цилиндр) Jг= =Vam4/?2. В дальнейшем индекс оси (х, у, z) у моментов сил, моментов импульсов, моментов инерции и других величин мы будем опускать. Используя уравнение движения (14.7), получаем
Применяя второй закон Ньютона к материальным точкам тх и т2, находим
тха = F1;, тга = m2g—F„.
14.1
(рис. 14.1). Теперь блок не только является телом, массу которого необходимо учитывать, но его нельзя принять и за материальную точку. Будем считать блок твердым телом. Его центр масс неподвижен, а сам блок вращается вокруг одной неподвижной оси OZ, проходящей через центр масс. Применим к блоку уравнение движения (14.7) относительно неподвижной оси OZ. Инерци-альная система отсчета выб-
1Um4R^(Fl-Fl)R.
82
Уравнение связи линейного а и углового ? ускорений замыкает систему уравнений:
?=aAR.
Решая полученную систему уравнений, получаем: а—-пч_-^ а « 6,5 м/с2;
^ =--g, f;»6,5H;
mi+ma-f-2 m4
^ = Л---W, К « 33 H;
I4 mx-\-m2-\--j mi j
? = —-j-г- g, ? » 65 рад/с2.
/? f mx + ma + y ^4J
Ускорение а системы значительно уменьшилось. Интересно также отметить, как сильно теперь отличаются значения сил натяжения нити F„ и F„: натяжение F^ и должно быть значительно больше Fh, ибо моменты этих сил имеют противоположные знаки.
Пример 14.2 Один конец вертикально расположенной нити закреплен в точке О (рис. 14.2), а другой намотан на сплошной узкий цилиндр (диск) массы т=10 кг и радиуса R = IO см. Определить ускорение центра масс и силу натяжения нити. Нить невесома и нерастяжима. Решение. В физическую систему включим два тела: цилиндр и нить. Цилиндр нельзя принять за материальную точку. Будем считать его твердым телом. Его центр масс (точка С) движется вертикально вниз, а сам цилиндр вращается относительно подвижной оси, проходящей через центр масс. Применим теорему о движении центра масс (14.1) и уравнение движения (14.7). Инерциальную систему отсчета свяжем с Землей, а оси координат направим, как показано на рис. 14.2. На цилиндр действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити FH. По теореме о движении центра масс,
mac=mg+FH.
Проецируя это векторное уравнение на ось ОХ, получаем та с=mg—Fn.
83
Цилиндр вращается относительно подвижной оси, но эта ось перемещается параллельно самой себе; в этом случае уравнение движения (14.7) остается справедливым:
