Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
А = J F(t)v(t)dt. (13.10)
Пример 13.4 Рассчитаем работу силы сопротивления воздуха, действующей на парашютиста в примере 11.3 за первые 3 с и первые 30 с.
P е ш е н и е. Так как сила сопротивления зависит от скорости (Fc=—kv) и закон изменения скорости (11.19) найден, то по формуле (13.10) получаем искомую работу;
A=^kv{t)v (t) dt = ^-f- J (l —е™ 0 dt =
о о
-^['+їИ'-О-а^'-О]- (13Л1)
Подставляя в (13.11) значения времени fx=3 с и Z2= =30 с, получаем
Л!«104 Дж, Л2«1,Ы06 Дж.
Найдем отношение этих работ: Л а/Л 1=110.
Таким образом, во втором случае промежуток времени возрос в 10, а совершенная при этом работа — в НО раз. Этот результат объясняется одновременным возрастанием и силы сопротивления, и скорости движения.
В заключение исследуем случай зависимости силы от времени: F=F(O- Здесь также для нахождения закона изменения скорости V от времени t необходимо решать основ-
74
ную задачу динамики. Элементарная работа dA=F(t) dx=F(t) v(t) dt.
После нахождения закона изменения скорости искомая работа
и
А = J F(Of(Od*. (13.12)
Пример 13.5 Определить работу тормозного двигателя за первую секунду в примере 11.4. Решение. Так как сила торможения зависит от времени (F=U), закон изменения скорости (11.27) найден, время торможения известно, то по формуле (13.12) получаем искомую работу;
Л «2,5.10- Дж.
(13.13)
Иногда работу можно вычислить, используя теорему об изменении кинетической энергии физической системы, состоящей из материальных точек. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на такую систему, равна изменению кинетической энергии этой системы:
А=&ЕК. (13.14)
В примере 11.4 из трех сил, действующих на тело, две взаимно уравновешивают друг друга. Оставшаяся сила и есть сила торможения, работу которой необходимо вычислить. Следовательно, в формуле (13.14) А — это работа силы торможения, a kEK=mu%l2—mv2l2. Применяя формулу (13.14) и учитывая закон изменения скорости (11.27), получаем
л ™о т(Т, M2Y toJ* kHi л ein» Лж Л=~2---2\Vo—2iH) ~~2--Ж' Аж>
т. е. это тот же результат, что и полученный ранее (см. (13.13) методом ДИ.
По закону сохранения энергии в механике, полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, есть величина постоянная:
?=?K+Fn=const, или Д(?к+?п)=0. (13.15)
75
Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия системы не сохраняется и ее изменение равно работе неконсервативных сил
д?=ЛД, (13.16)
где Лд— работа диссипативных сил.
Пример 13.6 Определить, какую скорость имеет метеорит массой т на расстоянии г= 1,5-1011 м от Солнца, если он двигался без начальной скорости из бесконечности к Солнцу (массой М). Влиянием других тел пренебречь. Решение. В физическую систему включим два тела: метеорит и Солнце. Метеорит можно принять за материальную точку. Солнце будем считать шаром радиуса R = ==7-105 км. Физическое явление заключается в движении метеорита к Солнцу под действием силы тяготения. Известно начальное состояние физической системы, необходимо определить один из параметров движения метеорита (скорость і») в конечном состоянии. Это основная задача динамики.
Ее можно было бы решать динамическим методом, применяя второй закон Ньютона. Но в данной задаче нет необходимости определять закон изменения скорости V метеорита от времени t (нужно определить, только значение скорости в конечном состоянии); иначе говоря, нет необходимости описывать весь процесс движения метеорита. Поэтому целесообразно применить закон сохранения энергии в механике.
Выбранная система тел замкнута (влиянием других тел пренебрегаем по условию). В системе действуют только консервативные силы тяготения. Инерциальную систему свяжем с Солнцем, принимая его за неподвижное тело (см. пример 13.2). Полная механическая энергия E1 системы в начале взаимодействия тел равна нулю (кинетические энергии тел равны нулю; принимая начальное положение системы за нулевое положение, получаем, что и начальная потенциальная энергия равна нулю). Определим полную механическую энергию системы E2 в конце взаимодействия, когда метеорит находится на расстоянии г== 1,5•1O11 м от Солнца (рис. 13.4). Она слагается из кинетической энергии метеорита EK=mv2/2 и его потенциальной энергии. Последняя определяется работой силы тяготения при перемещении метеорита из конечного в начальное положение.
Так как сила тяготения зависит от расстояния г, т. е. является переменной силой, то для расчета работы этой
70
/77
г —-; -1—4— Or OO
13 4
силы применим метод ДИ. Разделим весь путь на столь малые участки, чтобы на каждом таком участке dr изменением силы тяготения можно было пренебречь, считая ее постоянной. Тогда элементарная работа на таком участке
aA=(j —ir cos a dr = — О —=- dr.
Суммируя элементарные работы на всех участках, получаем общую работу А, которая и определяет значение взаимной потенциальной энергии En системы:
Г
Таким -образом, полная механическая энергия системы в начальном положении Ei=O, в конечном Ей=тий/2— —GmMIr. По закону сохранения энергии в механике,
