Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем, например, скорость Земли в момент взаимодействия с шаром (это максимальная скорость Земли в условиях данной задачи). Очень часто в физике выбирают инерциальную систему отсчета, связанную с центром масс системы или с центром инерции системы. Эту систему в дальнейшем будем кратко обозначать символом СЦМ (система центра масс) или символом ЦИ (система центра инерции). Центром масс системы называют точку, радиус-вектор гс которой определяется из уравнения
!•,-?^. (13.2
Можно показать, что центр масс системы движется материальная точка, масса которой равна массе системы а действующая сила равна геометрической сумме всех внеї них сил, действующих на систему (теорема о дви жении центра масс). Запишем уравнение движ ния центра масс:
где m=Smf— масса системы, Vc—вектор скорости цент{ масс, S F1— геометрическая сумма внешних сил.
Если система замкнута, то SFf=O и Vc=const, т. центр масс замкнутой системы движется равномерно и пр!
70
молинейно. Следовательно, система отсчета, связанная с центром масс такой системы, является инерциальной. Так как в СЦМ начало координат совпадает с центром масс, то гс=0 и из (13.2) находим
2т,гг=0. (13.3)
Продифференцировав уравнение (13.3) по времени t, получаем
4^m1V1 = O, (13.4)
т. е. импульс замкнутой системы относительно СЦМ равен нулю в любой момент времени. Применим этот
м
13.2
результат к расчету скорости Земли при ее взаимодействии с шаром (рис. 13.2). На этом рисунке начало координат СЦМ — точка О — смещено вправо. Из уравнения (13.4) находим
Mv3—тиш=0, (13.5)
где M — масса Земли, V3 — ее скорость, т — масса шара, иш — его скорость. Из уравнения (13.5) определяем скорость Земли:
V3 =-^-V111 = -^-^2^, V3 «5.10-« м/с.
Полученная скорость фантастически мала. Двигаясь с такой скоростью, Земля переместится на расстояние, равное 1 см, за время /«6•1O12 лет. В дальнейшем при исследовании движения тел, массы которых малы по сравнению с массой Земли, мы будем пренебрегать воздействием этих тел на Землю, считая ее неподвижной.
Закон сохранения энергии в механике связан с понятиями кинетической Ен и потенциальной En энергий. Очень важным здесь является также и понятие работы А.
71
Как известно, сила F на элементарном перемещении dr совершает элементарную работу
cL4 = Fdr.
(13.6)
Работа силы F на пути / выражается интегралом
Л = J F dr,
(13.7)
і
где интеграл берется вдоль кривой /.
Встречаются случаи, когда работу необходимо вычислять при прямолинейном движении. Учитывая, что dr= =4x'\-\-dy-j+dz-k, выражение (13.6) можно представить в виде
AA = Fidx-f-Fjd#+Fkdz=Fdx cos ax+Fdz/ cos a2+
4-Fdz cos a8, где alt a2 и a3— углы, которые вектор силы F составляет соответственно с ортами i, j и к осей OX, OY и OZ. При движении по прямой (например, вдоль оси OX)
UA=FUx cos a. Работа силы на участке от Х\ до X2 в этом случае определяется формулой
Если сила постоянна, то вычисление ее работы не составляет обычно большого труда. При расчете работы переменной силы часто используют метод ДИ (см. § 6). Ограничимся прямолинейным случаем и предположим, что |cosa| = l. Сила может зависеть от координаты х (в общем случае и от у, и-от z), от компоненты скорости Vx=V (в общем случае и от других компонент вектора скорости v) и от времени t.
Рассмотрим случай зависимости силы F (х) от координаты х. Элементарная работа
d,4=F(;<;)d;<;.
Работа на участке \х\, х%\
Пример 13.3 Сначала тело поднимают из шахты глубиной hi=Rl2 (где R — радиус Земли) на поверхность Земли, а затем на высоту h2=hx=Rl2 от поверхности Земли. В каком случае работа больше?
A = ^F(x) dx.
72
Решение. Легко видеть, что эта задача на оценку. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти отношение AxIA г, где Ax- работа в первом случае, А 2— во втором. И в первом, и во втором случаях работа совершается против силы тяготения, но законы, описывающие действие этих сил, различны. В примере 12.1 было показано, что сила тяготения в первом случае
F1=V8 nopmx,
а во втором случае F2=6mMlxK
Графики изменения этих сил показаны на рис. 13.3. Таким образом, силы переменны и для расчета работ Ax и A2 не-
13.3
обходимо применить метод ДИ. Элементарные работы на участках dx составляют
СІЛI=F1(X) dx и cL42=F2(x) dx.
После интегрирования в соответствующих пределах получаем
r
л Г 4 . , 3 QmM A1= \ — лиртх dx
r/2 *! r
GmM , GmM dx;
J
Х2 3f> .
r
и, следовательно,
AxIA2=6I6, т. е. АХ>А2.
Сила может зависеть от компоненты скорости Vx=V. При расчете работы в этом случае необходимо найти закон изменения скорости V от времени t, т. е. решить основную задачу динамики, применяя второй закон Ньютона. Эле-
73
ментарная работа
dA =F (v) dx=F (v) vdt. (13.8)
По второму закону Ньютона,
где S Fі— алгебраическая сумма проекций на направление движения остальных сил, действующих на данное тело. После решения уравнения (13.9) и учета начальных условий находим закон изменения скорости: v=v(t). Далее подставляем найденный закон изменения скорости в (13.8) и после интегрирования получаем некому работу:
