Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 23.3 Тонкая лента шириной I свернута в трубку радиуса R (рис. 23.6). По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток I. Определить модуль вектора магнитной индукции в произвольной точке на оси трубки.
dx
23.6
Решение. Проводник нельзя считать ни тонким, ни элементом тока, поэтому непосредственное применение закона Био — Савара — «Лапласа (23.1) и его следствия (23.3) запрещено. Трудно здесь использовать и теорему о циркуляции (23.2), так как магнитное поле лишено симметрии.
Применим метод ДИ. Разделим трубку на столь узкие кольца, чтобы каждое из них можно было считать за тонкий круговой проводник. Рассмотрим одно такое узкое кольцо шириной dx, находящееся на расстоянии х от произвольной точки Ax (рис. 23.6). Элементарный ток этого узкого кольца
dl = I (23.7)
создает по (23.3) в точке A1 элементарную магнитную индукцию
dB = 1^"7 d*
2/(/?2 + *2)3/2 '
153
Удобнее выбрать за переменную интегрирования угол а, под которым радиус каждого узкого кольца виден из точки Ai. Так как
x = Rc\ga, dx=-^-, Я' + *8 = - *а
sin2 а ' 1 sin2 а '
ТО
j d ц0/ sin а da
Отсюда после интегрирования получаем
d Г U0/sin a da U0/, . /по о\
J —2І-= 27" (COSa1-cosa2). (23.8)
а,
Если ввести ток на единичную длину трубки
•I0=IfI1 (23.9)
то (23.8) примет вид
В Z= Ції (cos Ct1- cos a,). (23.10)
Формула (23.10) справедлива и для соленоида, если учесть очевидное соотношение
І0 = ПІі,
где п — число витков на единичную длину соленоида, Ii — сила тока в соленоиде. Итак, для конечного соленоида
В = (cos Ot1—cos a2). (23.11)
Полученные формулы (23.8), (23.10) и (23.11) справедливы и для точки A2 (рис. 23.6), находящейся на оси трубки вне ее. Заметим, что для точки Ai угол а2 всегда тупой, а для точки A2 — всегда острый (исключая точки на торцах трубки). Полезно исследовать различные частные случаи: точка Ai расположена в середине трубки, на ее концах и т. д., а также случай бесконечной трубки или соленоида
(/-voo)
Пример 23.4 Ток I течет по длинному прямому проводнику, сечение _ которого имеет форму тонкой дуги длины I и радиуса R (рис. 23.7). Определить индукцию магнитного поля в точке 0.
Решение. Легко видеть, что проводник нельзя считать ни тонким прямым проводником, ни элементом тока.
154
Следовательно, мы не можем непосредственно использовать ни закон Био — Савара — Лапласа (23.1), ни его следствие (23.4). Так как магнитное поле несимметрично, то сомнительно, что теорема о циркуляции (23.2) может дать положительный результат.
23.7
23.8
Применим метод ДИ. Разделим проводник на столь узкие длинные прямые проводники, чтобы каждый из них можно было принять за тонкий длинный прямой проводник. Из (23.4) следует, что магнитное поле тонкого прямого бесконечного проводника можно рассчитать по формуле
<23Л2>
Рассмотрим один такой проводник шириной сЦ (рис. 23.7). Элементарный ток этого проводника
в точке О создает магнитное поле, элементарная магнитная индукция которого (по (23.12))
AR — м-» d/ — n7 & U ~~ 2nR 2jiIR •
Легко видеть, что результирующий вектор В направлен по оси OY (т. е. Bx=O). Проекция вектора dB на ось OY
d_ - mo/d/ cosa
За переменную интегрирования выберем угол а. Так как dl=Rda, то
ц01 cos а da 2я7
155
Отсюда после интегрирования получаем
+а0/2
(23.13)
-а0/2
где CL0=IlR — центральный угол дуги Л Если а0=я, то (23.13) дает
Пример 23.5 По тонкой прямой бесконечной ленте шириной I идет ток I. Рассчитать индукцию магнитного поля этого тока в произвольной точке О (рис. 23.8). Решение. Свяжем с точкой О систему координат, оси которой направим, как показано на рис. 23.8. Для расчета магнитного поля применим метод ДИ (как и в двух предыдущих примерах, непосредственно применять закон Био — Савара — Лапласа и его следствия нельзя).
Разделим бесконечную ленту на столь узкие прямые и бесконечные участки, чтобы каждый из них можно было принять за тонкий прямой бесконечный проводник. Рассмотрим один такой участок проводника шириной dl (рис. 23.8). Элементарный ток этого участка
создает в точке О магнитное поле, модуль магнитной индукции которого (по (23.12))
__ dl _ Цо i dl 2лг 2nlr
Пусть точка О удалена от плоскости ленты на расстояние /V Тогда
г о г da _ r0da
cos a' cos а cos2 а '
Таким образом,
dB = J±Lto~.
2ш cos а
Найдем проекции вектора dB на оси OX и OY:
dBx= d?sina =
^0/ sin a da 2я/cos a
, dB = dB cos a
ix0i da
156
Отсюда после интегрирования получим
+ а2
В - С mo7 sin a da ц0/ cos дг (O1X \А\
х~ ) 2л/cos а ~ 2л7 Ш с^Га? v^.14j
-аі
+ а
л — f mo7 <1«_ po^ («2 + «i) /0о lev
Введя ток на единичную ширину ленты I0=IfI, найдем
? i^lni^, в =^(а2 + ах). * 2я cos а2 ' у 2л v 2 1 17
В случае симметричного расположения точки О (при GJi=QJ2) имеем Bx=O, By=[L0IaJn. Для ленты бесконечной ширины (т. е. плоскости) Bx=O, Ву=\х010/2 (поле плоскости с равномерно распределенным током I0 однородно).
Если индукция магнитного поля известна (или рассчитана методами, изложенными выше), то большинство задач сводится в дальнейшем к решению соответствующих задач механики (нередко с применением метода ДИ). Наиболее распространенными здесь являются задачи, связанные с поведением плоского контура с током в магнитном поле. Часто приходится вычислять силы и их механические моменты, действующие на контур, определять работу перемещения контура в магнитном поле и т. д.
