Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
— относительно-ограниченное по 6Е 30 ядро в смысле
ЦЛ/(х)1Ь<с ripSfov). р$(х) = Пр$(х)
n.v
для пары четверок (} = (fV’v), pv ^ 0 в 7 = (у’,), y'v > 0, удовлетворяющих условию (2.5). Тогда 1\ — е (/?(), ATt (со) = Vq (со, М), m. е. ij, ° ? — е о vj,
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
где
(2.7) vq ((о, М) 2 М(Ьш\Х), <•>' (А’-' П оЛ*)*'
(сумма берется по всевозможным Xv Q X П °Н - \ = о,’ + К причем || v0 (Л/) ||„
< с, РСЛМ OCv («) > Pv (*) f Tv (•*) при t (х) < Л UCCv (•*) > Yv (л), Vfi, V wpu 4 (.i) ^ i. В частности, обобщенный однократный интеграл ц (/)) от D\- (•"») - Е (Су (л)) с ограниченной относительно у четверкой С (л) --
— (C’v 0*)) ядер Су (.г, я.1), и - (i‘v) в смысле
<¦¦¦ !! С'+ llVV, + IIС: ||(«, (Г) -f II Со ll^i (Г) + IIС0 И*”) (1 /р) < во,
!|C;||(VU( .-== S IK'T(x)|iv^, || С11у2,'4 = (S II С1 (х) ||y г (х) dx-)' 2, хе х‘
н г’" I * \ J ii^o(-)llv 1 IIC.II,. »р —-—)¦
xt~ Л
является представлением i„ о g = с о л? преобразования
//j, (т, С) - 2 С(аг, ю\х), С(а?,и) — С?(*.«).
зеео»1
где сумма берется по всевозможным х ?= o>v П ц —, 0, v —- 0, + , х ~
ar*v(»> — одна из элементарным таблиц (1.7) с индексами ц (х) --- р.. v (я) •-=> -- v, определенными почти всюду условием (i, v : х CZ <i)v, причем
II «о (С) II,, (г) < с охр | ^ (у; (х) + ~ (у° (а:)2 + у0~ (*)2) г (x)j dx j-.
Доказательство. Если М (х- ») — операторно-значное биядро, ограниченное || Л/||ц,у <1 с относительно пары ф, у), то определен относительно ограниченный оператор Tt — е (Kt) для Kt — v'0 (М), поскольку
HxZxi *U+)<* ((;/")<i «х0)<(
п^(ИН<с 2 2 2 2 (x>“\x)ii<
x+?w+ — о
JJ , 0 t(Xy)<t ц--~ ,0
<с П 2 П «$ю.
v : v "• : г<лс) <t *(*)>*
где a? (to) ¦-= J] [р (х) + у (j)] у (х) для р$ (х) = П р5 (*) н
х&м
Yv (,;) — П Yv (х). Применяя представление (2.2) к К\ (<о) = (<о, М),
X&V
не трудно получить представление оператора е (К,) в виде обобщенного многократного интеграла (1.5) от В (%) ~ е (М (%))'•
lT,h](X) - 2 й 2 А/(х,«\г)4(^и(,)о)<гио<ги^
i»0 L.J о>+-=Х XSb,t
= 2 S dyu 5 (h\ 2 Й М (^’ u)h (Xo Lj Xo ¦ Ч U t;o) di'o dvZ,
7(, LJ X+?X( Л< u t‘0 LJ «+™x_
90
В. П. БЕЛАВКИН
где X- = X \ (хо U х°)> А (х, v) = ^ (х 1___I «)• Следовательно, Tt = (Л), где
\В (х) Л (хо 1JХо)1 (X) =¦¦= 2 SS м (Х> ») * (Хо UХо, *‘о (J 1'о) <1гГ0 d\T+,
о о
vo U v+—/.
т. е. мы доказали, что к с vj — 1о ° е. В частности, если М (х, ») = 0 при S I Xv I =?^= 1 г т°. очевидно,
г* (со, М) = п*о (а. С), 1*о(В) = х'о (В),
где CU (х, ») = М (3c'v, и), и В (х) = 0 при 2j I Xv I Ф 1, (*) = Я (*•“)•
Это дает представление е « sj = ij о { для однократного обобщенного неадап-тивпого интеграла (1.2) в виде суммы
S К (е (Я), А) = е ( S (Л^ (С?, Д))> ^ (со, С, А) = Ц С (г, <о\ж“)
м, v
М. v
*e»v П Д
представлений четырех ядерных мер Л'^ (со, С“, Д) при Д = Х(, определяющих ядерные представления е о N (Д) == Л (Д) о е канонических мер (1.3) при D* (х) = е (CiJ (г)).
Теорема 2. Если ядро К (со) является относительно ограниченным, то
и и /Y+’ VoY
таковым же является и ядро К? (<о): || К? ||Y = || К ||Y>, где „ „ I =
\V+> Yo /
У°+\ ,
„ , и оператор Т* — е (КР), так же как и оператор Т = е (К),явля-
ло ’ "о /
ется q-ограниченным при q > р + 4/г оценкой (2.6). Для любых таких ядер К (х) и R'b (х), ограниченных относительно четверок а = (av) и у = (7“) функций а” (х), Yv (х), удовлетворяющих условию (2.5), определен оператор
е(КЬ) г (К) = е (К^-К), е (7©) == I
как *-представление ядерного произведения (1.2.9) с оценкой || К}’ • К ||р <
< II К ||0 |( I& ||v, если pv > (у -a)v, где (?-а)" (х) = 2т (х) <4 (?) определяется произведением треугольных матриц
i Yo Y+" "l ^0 «+" 'l, Yoao ^ «0- a+ + Y0«+ + Y+ "
0 Yo v° 0 0 0 «0 “+ 0, О 0 Yoao’ У°оа1 + У+
_0 0 1 .0 0 1 -0, 0, 1
Пусть Tt ~ в (К,), где Kt — v‘0 (М) определяет представление (2.6) для многократного интеграла (1.5) 7'< = to (В) от В (4) = е (М (f)) и Т (х) = = [7’!J(a;)], G (х) = (G!J (г)], где Т'$ --= Gv, если ц = + или v = —, Т_ (х) — = Tt(x) — Т+ (х), и Ту,, Gv при Ф +, v ф — описываются представлениями
(2.8) П (Х) = е (?tM (^)), Gv (х) = е (JtKjc)1 (я*))
точечных производных Rt (х, u) = Kt (х [_j и) соответственно при t — t (х)
и t^> t (х), t < t (vt(X)) = t+ (x), где Vt(X) = {xf ? |_____| Vy | t (x') t (z)},
так что Kt] (ce) = Kt («), Vsg(<, i (<o,)I. Тогда оператор-фуикции Z>v (x) = = G!J (x) — Tv (^) являются квантово-стохастическими производными от
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
91
функции t •г-*- Tt, определяющими дифференциал dTt = dig (D) в разностном виде, так что Tt — Т0 = i„ (G — Т). При этом Т* — Г* = ig (G^ — Т^), и имеет место неадаптивная формула Ито
(2.9) T*Tt — ТоТ0 = to (TbD + l)bT + DbD) = iI (GbG — TbT),
где Dh-D!5 — псевдоевклидово сопряжение |Z)“ (z)lb = IZ>_^ (x) 1 * треугольных операторов
Т т~ 0 Т-- ~0 °0 г со с;'
т = 0 т° 0 к , D = 0 к к , G = 0 с; к
.0 0 т _ .0 0 0 _0 0 т
со стандартным блочно-матричным умножением (TG)v — S T%G\.
Доказательство. Сопряженные операторы е (К), е (КЬ), определяющие «-представление (2.2) относительно ограниченных в смысле (2.4), (2.5) ядер К, являются «/-ограниченными при q р + 1/гв силу оценки II Е (К) ||9 || К ||р (г) и неравенства (2.6), приводящего к экспоненциальной
