Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Используя формулируемое понятие нормального многократного квантово-стохастического интеграла, мы строим явные решения квантово-стохастических эволюционных уравнений как в адаптивном, так и в неадаптивном случае онераторно-значных коэффициентов и даем простое алгебраическое доказательство унитарности этой эволюции при условии пссвдоунптарности генераторов этих уравнений. В адаптивном стационарном случае квантово-стохастическая эволюция была построена Хадсоном и Партасарати путем аппроксимации итовскими суммами квантово-стохастических генераторов, однако доказать унитарность этим методом даже в этом простом случае оказалось трудной проблемой. В рамках этого же подхода Холево (461 построил решение адантивного квантово-стохастического дифференциального уравнения и для нестационарных генераторов путем определения хронологической экспоненты как квантово-стохастического мультипликативного интеграла.
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХЛСТНЧКСКОГ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
77
Заметим, что наш подход является близким по духу к ядерному исчислению Маассеиа — Линдсея — Мейера {32, 341, однако он отличается от него тем, что все основные объекты строятся не п терминах ядер, а в терминах операторов, представленных в фоковском пространстве. Кроме того, мы используем значительно более общее понятие многократного стохастического, вообще говоря, неадаптишюго интеграла, который сводится к понятию ядерпого представления оператора лишь в случае скалярной (неслучайной) подынтегральной операторной функции. Возможность определения неадап-типного однократного интеграла в терминах ядерного исчисления была указана Линдсеем |47], однако понятие многократного квантово-стохастического интеграла не обсуждалось п литературе даже в адаптивном случае.
2.1. Неадаптивные стохастические интегралы и дифференциалы
о шкалах
Пусть (А. Л, р) — существенно упорядоченное пространство, т. е, измеримое множество X с о-коиечной мерой р : Д (ЕЕ Л *-*¦ р д ,> 0 и отношением порядка х х\ обладающим свойством, что всякая л-ка х — (х1, . , .
, . хп) является с точностью до перестановки цепью х — {¦*! <...< хп)
П
по модулю произведения Ц dxi мер dx : — . Иначе говоря, мы предпо-
(=i
лагаем. что измеримый порядок является почти линейным, т. е. для любого п мера-произведение подмножества л-ок х ЕЕ X'1 с не полностью упорядоченными по возрастанию компонентами равна нулю, откуда, в частности, следует безатомность меры р на Л". Молено считать, что существенный порядок па А' индуцирован измеримым отображением t : X -»¦ R+, относительно которого мера р является абсолютно-непрерывной а смысле ее дезынтегри-руемости:
ОО
\f(t(x))dx = \f(t)v&(t)dt,
А О
для любого интегрируемого подмножества А С. .Y и существенно-ограниченной функции / : [R+ -»¦ С, где рд (t) есть положительная мера на X для каждого t ЕЕ R+ и хх < ... < хп означает, что I (л:д) < ... < t (хп). Во всяком случае, мы будем считать всегда заданным такое отображение t, что выполняется указанное выше условие и t (х) I (х') при х .с', интериретируя t (х) как время в точке х (ЕЕ X. Например, t (х) -- t для х — (х, t), если А' —- К*1 X [R+ есть (d + 1)-мерное пространство-время с причинным порядком [48| и dx — dxdl, где dx есть стандартный объем па d-мерном пространстве IR'* ЕЕЭ х. Мы будем отождествлять конечные цепи •/_ с индексированными по возрастанию n-ками х = (х1г . . хп), ху <_ ... < хп, обозначая SC =-
<Х'
= 2j I'п множество всех конечных цепей как объединение множеств Гп —
П : ()
— {х <~ Хп I аГ| < ... < х„) с одноэлементным Г„ = {0}, содержащим пустую цепь как подмножество 0 CI А", и dx — П dx — «элемент» меры на SC,
iex
OP
индуцированной прямой суммой 21 Цд • &п ? ’Л®п, мер-произведений
**--0 п
П
dx = П dxi на Хп с единичной массой d% — 1 в точке % -- 0.
78
В. П. БЕЛАВКИН
Пусть {Жх \ х X)— семейство гильбертовых пространств Жх;
— аддитивная полугруппа положительных существенно-измеримых ло-кально-ограниченных фуикций р : X -*¦ [R.,. с нулем О ?Е .‘3% и 3Ь1 = {1 + + Ро I Ро ?= 3\). Например, в случае X — \Rd X IR в качестве можно
m
иметь в виду множество полиномов р (х) — 1 + S ! х |к относительно
к =о
модуля | х | = (Zxf)1/2 вектора х ее Rd с положительными коэффициентами ск 0. Обозначим Ж (р) гильбертово пространство существенно-измеримых вектор-функций А* : х >-*¦ к (х) ЕЕ Жх, квадратично-интегрируемых с весом
pesv
II к II (р) = (j II к (*) II* р (х) ^)1/г <
Поскольку 1, каждое пространство Ж (р) вкладывается в гильбертово пространство УС = Ж (1), причем их пересечение П Ж (р) Q Ж отождествляется с проективным пределом Ж+ — lim Ж (р). Это следует
) —оо
из возрастания р q =$ || А; || (р) || к || (q), в силу которого Ж (q) CZ Ж (р),
а также направленности множества в смысле существования для любых р = 1 + гид-1+«, г, sgE 5s о функции в 5й,, мажорирующей р и q, в качестве которой можно взять р + q — 1 — 1 + В случае
полиномов р ЕЕ З^х на X = X !R+ убывающее семейство {Ж (р)} идентично при Жх ~ С целочисленной шкале Соболева векторных полей h : Ud -*~ -*¦ Lf: (R+) со значениями h (х) (t) — к (х, t) в гильбертовых пространствах Lb (IR+) квадратично-интегрируемых функций на R+; заменив при этом IR3 на Zd, можно получитьпространство Шварца в виде векторных полей h ЕЕ ЕЕ Ж'+, если ограничиться лишь положительной частью целочисленной решетки 1Л.
