Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ОО п
и\ = 2 §•••§ 5+ fo)• • • s+(*«)Пdxi = S 5;(хМх.
n=o ><t(x,)<¦.. <t(xп)<1 г'= l „хе
где 30\ = (х €Е ЗС I X < к 0}» (*и • • м *п) = S+ fo) . . . S~_(xn), это
представление получается непосредственно интегрированием по со+ ЕЕ 30 ядра Kt (со) = \FZt • • • J (со), определяемого для m‘ = «j ж„ как
хронологическое произведение ядер Fx (со) = F% (х, со \ ), Vw = ( (Ov) при
х CEE cot и Fx (о>) = / (х) 1® (со) при х ф. [_J Wv, соответствующих представлению Sy (х) = е (/^ (х)).
Действительно, запишем решение уравнения Tt = I + i‘0 (Т (S — 1)) в виде Т, = е (Kt), где Kt —ядро (3.6) при К‘0 = I®, Fx = Fx, не зависящих от t. Обозначив (zlt . . ., z„} подцепь цепи {д^, . . xm) разложения со* =
— хг\__j . . . [_J хт, соответствующую элементам Zj ф со+, и представляя интеграл_________от Kt (со) по ю+ 6= ЗС в виде кратного интеграла по Хг ?Е ЗСцг^1'
i = 0, 1, . . ., п, где t (z0) = 0, t (z„+i) == t и Vi e 30, i — 1, . . ., n, получим
в соответствии с формулой (1.2.9) ядерное хронологическое произведение
Kt (of, v, со0) = [Fi(Il).Fft- ... FZn. V{Un)] (to0,«, co0).
Здесь в скобках произведение интегральных ядер Fx (w°, о, ю0) =
=W“- г)л"
ОО п
v\ (со°, и, оз0) =2 S § [F+(xj) • • • (;cn)] (w°* юо) П dXi,
ti=0 ••<((*„)« i— 1
где (x)j (o)°, v, o)0) = F+ (*’o“°), x e X. С другой стороны, этот же результат получится, если проинтегрировать по а>+ ЕЕ ЗС ядерное произведение
К{ (со) = [Vl^.Fzi ¦ Ий... F.V^J (со),
где ядра F3+ (со) = IFXl • • -F^] (со) при X1, f| о>~ = xt ? . . . U хп определяют представление U[ — е (Fj) решения уравнения (3.8) при S+ (х) =
= е (F+ (х)). Полагая Fx (со) = /01® (со) при а:Еи+ f| и учитывая
согласованность Vsr-Vl = V‘r, получим решение уравнения (3.2^. поепстав-
102
D. П. БЕЛАВКИН
ленное как решение уравнения (3.3) с генераторами А‘ (х)“ = е (L1 (*?)), где
V (*'vl.») = [(f* - Is)' ^‘(X)] (VIJ *%) = 0 при (и, V) = (-, ч-).
Это решение можно записать в виде квантово-стохастического многократного неадаптивного интеграла (1.5) от Bt (х) = е (Mt (х)), где М, (^, и) определяется в (3.5) ядрами К*0 = Vl0 и l}x = (Fx — I®)-Ft'(x). Оператор-функция Bt (х) при этом равна нулю, если х+ Ф 0> поскольку произведение
(3.5) обращается в нуль при Xi ЕЕ Х+- Отсюда немедленно получим
Следствие 3. Пусть 6’v (х) = Fv (х) (х) 1, где F+ (х) — замкнутые диссипативные операторы, для которых существует согласованное семейство {F,} сжимающих операторов в Ж, представляющих решение уравнения (3.8) в виде Us = Fs © 1 (достаточно, например, потребовать локальную абсолютную интегрируемость ^ || F+ (х) || dx < оо, Vi).
х1
Пусть также оператор-функции
F\ (х):3е-+эе® хх, РЪ(х):Ж®Жх-+Ж
локально квадратично-интегрируемы в смысле
IIF (г) = ( $ \\F(x)\\*r(x)dx)l/i<°c хг
и II Fo III®! = ess ырхсХ, {II F0 (х) И ip (х)} <' 1 для некоторых с-1 ЕЕ И'\
и р ?Е Тогда решение Т, ----- ц (j5), j5 (х) = М (х) 0 1 квантово-стохас-
тического уравнения (3.2) однозначно определено для каждого t ^ 0 как относительно-ограниченный оператор Tt ~ е (Kt), представляющий по формуле
(2.8) адаптивные хронологические произведения
(3.9) Kt (ш°, v, w0) = F0,(JC,) О F (х,) О У\[Ц Q ... QF (хп) Q V^.
Здесь {xlt . . ., х„} = (to0 (J v (J ыо) П — хронологически упорядоченная цепь 0 t (х,) <...<; i (Хп) <С t, х ~ х+, если х ?Е шэ, х = х0, если
х €— V, х ~ х0, если х ЕЕ (о0, — элементарные таблицы (1.7) F (ж?) — = F% (х) — одна из трех функций F +, F0, F0, и Q означает полутензорное произведение, определяемое рекуррентно по формуле
к (») О F (X) = (К (i>) ® /® (Х; LI Х+)> (F (х) 0 /® К U ъ)
для и0 = (о0, to = и, o’. = ы°, х = ар», ^о. ж+ “ F (х+) = К*)-
При этом семейство Тt является адаптированным, может быть представлено как число квантово-стохастический интеграл (1.5) от ядер Маас-сена — Мейера
Mt « и, (й0) = VIм О L (*i) О Vl{x4 Q ... Q L (хп) © Vkxn),
где о)0 [_] о (__| о)0 = (х|, . . ., х„), L (x'i) ~ F (х^) — I (к.) 6% = 1? (х) и справедлива оценка
(3.10) II Т, ||р (г) < ехр {4- jj (IIЦ (X) II* + И Ll (х) ||*) г (х) dx} .
х‘
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
103-
В самом деле, поскольку || Vl || < 1, ядра (3.9) являются ограниченными: || Kt (а>°, v, со0) || < || F\ (toc) ||t || F°0 (v) || ||^ ЮН.,
относительно || F (со) ||t = П || F (х) ||. Используя неравенство (2.6), где-
следует положить а+ (х) = || L+ (а:) ||, а0 (j) = || L0 (х) || при х е X\ а„ (х) ~
— О — а0 (х) при х ЕЕ Х\ а+ (х) = 0 = а0 (х) при t (х) > t, а0 (х) — = || F°0 (х) Н при х ЕЕ X1, ао (х) = 1 при t (х) > t, а~ (х) = 0 при всех х е X, получим оценку (3.10), соответствующую || Tt ||а =- 1.
Пример. Построим решение уравнения (3.2), соответствующее псев-доунитарным генераторам S (х) = F (х) I с треугольными операторами F (х) = где Hf7 (х) = Н (х) — псевдосамосопряженные операторы с
компонентами //? (х) — О при ц = + или v = —, Н0 (х)* = Н\ (x)t HQ (х)* = Н0 (х). Предполагая выполненным условие локальной абсолютной интегрируемости || F+ ||{1) = ^ (х) || dx < оо, приводящее в силу
А’*
псевдоунитарности F к
и II F0 ||(ао) = ess sup || F0 (х) || = 1, определим операторы Т( — в (К,) как
