Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
|| й (D) h IP + 2 Re (ii (D) h | Tnh) = || Tth ||2 - || T0h ||2
без предположения о том, что семейство Tt определяется ядрами (2.7), представляющими его в виде многократного стохастического интеграла (1.5) от В = е (Л/). Действительно, вычисляя квадрат нормы полного однократного интеграла
[io (D) h] (х) = $ [?>.; (х) h -f Do (x) h (*)] (x) dx + x‘
+ 2 (x) h + Dl ix) h (*)] (X \ x)’
•rex'
получим II to (D) h\\2 — ||^ [j2 + 2 Re (21 $) + j2|f - гДе
I§ If7=1 S h + D°h i °+ (x)h+(•r)ii (¦r))dx dz
xl x*
== § 2 Re ( ^ (D1{z)h, Л-Do{z)h(z))dz\Dlr(x)h ~ Dl(x)h(x)\dx\
х‘ л‘<*)
2 Re (21 $) - 2Re J ( 2 [# (*) h + D°0 (z) Л(г)](х\г)| J [Д (x) h +
ген1 X1
+ д; (*) h (л-)] (X) dx) dx - S 2 Re 5 ( 2 [# (*) Л + D°0 (z) h (z)] ft) | DZ (x) h +
A'( !SX,<r)
+ Do (г) h (x)) dx dx + J 2 Re (a (.r) J [?>; (z) A + D°0 (z) h (z)] dz \ D\ (x) h +
X1 х'Чх)
+ Do (x) h (x)j dx;
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
95
! 2 Г - S 2 И [Д°+ (*) h + D* (*) A (*)] (х \ II2 dt --
x^z
==§ 2 ([?>°+(2)Л + ?>о(2)/г(2)](х\г)|[/)+(д-)А+Do(z)A(x)](x\ar))(/x == х, zex*
= S 2 Re $ (а (х) 2 [Я+ (z)л + D°0 (2) А (г)] (X \ Z) I D\ (x) A +
ЛГГ 2gr<(*)
T- ¦Oo(x) A(x)](x))dxdj:.
Здесь использована формула (1.4) в виде
\ 2 U(x,x)\h(x,x\x))dx= § §(/(•?¦ XU*)!Мх-Х))^*-*ех' х‘
дающая итовский член формулы Хадсона — Партасарати для адаптивных интегралов в виде
5 2 II (Яо+ (х) А 4- D0 (х) А (а:)] (х \ х) ||2 d% = ^ II Dt (х) А + 1)0 (х) A (х) ||2 dx, *ех' х'
и (а (х) / (х)1 (х) =-- / (х, х I_I х) — оператор уничтожения в точке х GE X.
Суммируя все три интеграла, получим
|| tJ, (D) А ||2 = jj 2 Re (i‘0(x) (D) А | D+ (х) А + Do (.г) А (х)) dx +
х(
+ ^ [|| D\ (х) А (х) + D°0 (х) А (х) ||2 + 2 Re (а (х) i„x) (D) А | D\ (х) А (х) +
АГ
+ D0 (х) A (.г)}] dx,
что и приводит к слабой форме (2.10) неадаптивного обобщения квантовой формулы Ито для Tt — T(l + io (D). Если при этом Tt = е (Kt) — представление (2.2) ядра (2.6), то очевидно, что
le (Kt) А] (х U х) = [е (Rt (х°0)) A -f е (А (х°0)) A (х)] (х),
и поэтому а (х) Tl(x)h = Т+ (х) A -f Т0 (х) h (х). В частности, для скалярного случая Жх — С при D+ = 0 = D0, D0 (х) = D (х) — D+ (х) и Т0 (х) = = Tt{x), Т0 (х) = Т (х) = Го (х), получим
||7’<А||*-||7,0Л||2= J 2Ee(Ttix)h\dTnx)h) + х(
+ J [||?>(х)А||24 2 Re (7’ (x)h\D(x)h)]dx, xl
где T (х) А — а (х) Tt(X)h — 7\x)h (х) — la (х), Тц*)] А. Это дает формулу
Ито для нормальноупорядоченного неадапгивного интеграла Tt — Т0 — =~ 2j (А0 (dx) D (х) D (x) Al (dx)) — S ^к*) п0 винеровской стохасти-
Л( A*
ческой мере w (А), 4е^, представленной в ^ коммутативными операторами ? (A) = Ло (A) + Л_ (А). В частном случае, когда операторы Т Z> (а:) и, следовательно, Tt представляют антисипативные функционалы То (;/:), Z) (х, w) и Tt (w) от w: Т0 = Г,, (&), D (х) --- D (х, С) и Tt -- Tt ((b),
96
П. П. БЕЛАВКИН
операторы Т (х) • Iа (х). ТЦх)] '¦= ? (Янх) (х)) определяются производной Малливена Т (х, w) д (х) Гцх) (w) как винеровского представления точечной производной /fit*) (х. х) = Kt(X) (х |______| у) операторно значных ядер
у стохастического многократного интеграла Т, (w) — § Kt (%) и> (d%) = / (Kt). В этом частном случае формула (2,10) была недавно получена Нулартом в 1321. Заметим, что в адаптивном случае всегда Т0 (х) -- ТцХ) (х) / (X) и 7Tv (х) 0 при ц Ф v, кроме, быть может, Т+ (х) -- е (Л'+ (х)). Отсюда не-
медленно получим
Следствие 2. Квантовый случайный процесс Tt - е (Kt) является адаптивным, если и только если его ядерный процесс К¦ является адаптивным в смысле
Kt (a, v, т) г,, ^ Kt (“’ do) b0 (o(<) 1 ® (%) 60 (t[() (x) A, (o', u't t'), где 60 (X) - 1. X - 0- «о (x) - 0, X Ф 0. I® (x) = 0/ (*), X* = X П X*,
X[i ” {x Er X ! MT) ^ 0- Квантово-стохастическая формула Ито (2.9) для таких процессов записывается в сильном виде как
TtT, - TlT0 = \ (T*t(x) df ix) -f dr* (г) THx) + dT* (x) dT (x)) x*
= i('(GbG — 7**Г (x) 1),
где
dT (x) ^ A (D, tf*), dT* (x) - A (l)b, dx).
dT* (r) dT (x) - A (DbD, dx), 1 (x) и в слабом виде как (2.10). где а (х) Тцх) h = (7',(Х) (х) / (г)] h (х).
1 о от
о /(*) о , 0 О 1J
2.3. Неадаптивная квантовая эволюция и хронологические произведения
Доказанное свойство непрерывности «-представления г индуктивной h-алгебры 95 относительно-ограниченных операторно-значных ядер К (<о) в операторной «-алгебре 35 (&+) индуктивного предела $+ П # (р) по зволяет построить квантово-стохастическое функциональное исчисление. Именно, если К ----- /((>,,.... Qm) есть аналитическая функция ядер Qi GE ®, полученная как предел полиномов Кп с фиксированным упорядочением не коммутирующих Q1, . , Qm в смысле || Кп — А" ||„ —*- 0 для (р, ^-допустимой четверки а = (otv) положительных функций (х) 0, то Т = е, (К)
есть упорядоченная функция / (A"j, . . A"m) операторов == г ((?;) как предел || Тп — Т ||9 —> 0 при q р + Иг соответствующих полиномов Тп —
— е (Кп). Функция Т* = /* (А-*, . . ., Х*п) с транспонированным порядком
Ф h
действия операторов Xi — е ((Д) также определена как ^-ограниченный
оператор Т* = F. (К\>) для Аь - /* (($, . . Qbn ) в шкале {$ (/>)}•
