Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белавкин В.П. -> "Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах" -> 24

Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.

Белавкин В.П. Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах — РДХ, 1992. — 61 c.
Скачать (прямая ссылка): haoticheskiesostoyaniya1992.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 .. 28 >> Следующая

К10 (со) = [/^] (со), L{x (со) = ILSX-V[ 1 (со), Vt > s
— ядерные произведения, определяющие представление (3.4) уравнения (3.3). Тогда ядерное хронологическое произведение
(3.6) Kt (со) = • • • FT? • <*„)] (со)
для Flx (со) = Lx (со) + Vj(x) (со), со* = xt |_| ... |_| xn есть единственное
решение системы (3.4) для почти всех to = ((Ov) (при t (х) Ф t (х'), Ух Ф Ф х’ 6= j__| Wv)- Это дает представление решения уравнения (3.3) в виде Тt —
— е (К,), определенном на & как относительно ограниченный оператор для
каждого t, если произведение (3.6) удовлетворяет условию || Kt ||я < оо отно-
сительно нормы (2.4) для допустимой в смысле (2.5) четверки (а^) функций a'v (х). равных нулю при t (х) ]> t. Операторы Тt при этом являются изометрическими Т* Т, = / (унитарными Т* = 771), если и только если изометрическими (унитарными) являются операторы Т0 и U‘s, t ^ s > 0, и, следовательно, Т10 — Тои*0, Vt, а треугольные оператор-матрицы S (х) — (х)],
определяющие генераторы уравнения (3.3) в виде А( (х) = (S (х) — 1) (U\(X) 0
0 1 (х)), являются псевдоизометрическими (х) S (х) = / 0 1 (х) (псевдо-унитарными: (а;) = S (#)-1):
S°0(x)* Sl(x) = / 0 / (х), S-+(x)* + S°+(x)*S°+(x) + S-+(x)=0,
И* + S°0 (х)* Si (х) = О, S°+ (х)* Si (х) + i’o (z) = О
О 0 0
(и S0 (х) являются унитарными-. S0 (х)* = S0 (а:)-1) для почти всех х е= X .
Доказательство. Пусть » ~ »0 LJ ui LJ • • • LJ um есть разбиение таблицы « = (и*) = со \ X на подтаблицы Uj = х\ [_J . . . [_J x"f, определяемые точками х{ €Е Х‘ элементарных таблиц х{ хронологического разбиения X = *1 U • • • U хт так, ЧТО t (Xi) < t (х-) < . . . < t (xnt‘) <
< t (xi+1), t (z0) = 0. Тогда
*'<**> И1®’ rt(Xi+l) гКх'1> И*?'
K, -JC. =4
K, («¦) У [C"’ • ??'•’... L?XI ¦ tij (I U ») =
Г /T/<(*l) t rHz3)\ /Т jt I Tt 41/. V
100
В. П. БЕЛАВКИН
где точки zlt . . zn Xе, t (zt) <...</ (zn) определяют разбиение ы — = [_]«! на элементарные таблицы (1.7). Таким образом, хронологическое произведение (3.6) ядер F\ = L[ + определяет единственное решение системы (3.4), которое является псевдоизометрическим (псевдоунитарным) ядром, если и только если таким является каждый из сомножителей Кдг'\ F[ . Если при этом ядро (<о) оказывается локально ограниченным при каждом / относительно четверки а = (av) положительных ло-кально-интегрируемых функций ау (х) в смысле
Sc °?(х)
а+ (х) dx оо, (а+(х)2 -f- а0 (х)2) г (х) dx оо, ess sup <С °о,
it-V
то согласно теореме 2 представление (2.2) определяет b-гомоморфизм е: Kt -> Т, в *-алгебру (? ^ р + Mr) — ограниченных операторов на S+, обладающих экспоненциальной оценкой (2.6). При этом 7’, есть изометрия (унитарный оператор), если ядро Kt является псевдоизометрическим •
гЬ L-—1 \
Kt ) относительно ядерного пронзят . Последнее в силу представления ((*,)
¦ Kt = I (Я) i® (псевдоунитарным: К\ ведения (1.2.9) и псевдоинволюции Kt (3.6) в виде конечного произведения ядер К0 — К0, VoXl) и F, = F*(г\ И(2)> г G в, О i (г), для каждого хронологически упорядоченного набора со = (a>v) обеспечивается соответствующими свойствами ядер К0, Fj, s /, п F, (для почти всех z ?Е! Х‘), так что ядерные матрицы F (х) — [/^ (а:)] с элементами Fy (х) = 0, ц v, F_ (х) = I = F\ (х), Fy (х) — F (Ху), jj. Ф +, v Ф — являются псевдоизометрическими (псевдоунитарными). Это приводит к изометричности (унитарности) операторов Т0 — е (Ки), Ul3 = е (V1,) и псевдоизометричности (псевдоунитарности) треугольной оператор-матрицы S (х) = [е (/^ (а:))], где Sy (х) = 0, ft > v, S_ (х) = I = S++ (x), S“ (x) =
— e (F (Ху)), (ы +, v Ф —, определяющей генератор A (x) = (x)
как S (x) — I (x) 1 (x).
В силу единственности представлений Т0 = е (К0), U\ = е (Fj) nS (х) —
= е (F (х)) с точностью до b-идеала, описанного в секции 2 главы I, получен-
ные условия являются необходимыми и достаточными для изометричности (унитарности) решений Tt е (К,) неадаптивного квантово-стохастического уравнения (3.3), однозначно (с точностью до этого идеала) определяемого псевдоизометрическими (псевдоунитарными) ядрами (3.6). Записывая условие
SbS = / (g) 1 в терминах матричных элементов (х). чаем систему (3.7):
cbii _
O-v —
r,V*
мы полу-
[S S] (х)
1,
о,
.0,
¦?+(*)*.
S-0 (X)* 1
+
s°0 (х)*, о,
1, S0(x)’ S+(x) M, 0, 0-
0, ¦V*). S°+{x) --=/0 o, I (*). 0
0, 0 1 0, o, 1
Теорема 3, таким образом, доказана.
ЗамечаниеЗ. Пусть эволюционное семейство { LJt} является решением нестохастического неадаптивного уравнения
(3.8)
t/i = /+ \ Ut,(x)S^(x)dx, S<t,
Kt (*)<f
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
101
определенным в случае диссипативности S+ (х) S+ (х)* < 0 как согласованное семейство сжимающих операторов U1,: 'S —> 3, || U\ || <; 1. Тогда решение дифференциального уравнения (3.2) можно представить г виде чисто стохастического квантового многократного интеграла Tt = ^(Неудовлетворяющего уравнению (3.3) с Т*0 ~ Ul0 и генераторами А1 (х) — А (х) (?/[(1) (х) <g) 1 (а:)), где
А~ (х) = 0, А°+ (х) = S°+ (х), А о (л:) = So (х), А0 (х) = S0 (х) — Т (х) I (х).
В случае локально абсолютно-интегрируемой операторной функции S+ (х^ в смысле \ || S+ (х) || dx < ос, Vt, когда х<
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed