Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциальная форма этого исчисления дается некоммутативным и неадаптивным обобщением функциональной формулы Ито
(3.1) dXt = di‘ (А) =» df (Xt) = di' (/ (X f A) - f (X)),
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТ0ХЛСТИЧЕСВ50Е ИНТЕГРИРОВАНИЕ 97
определенным для любой аналитической функции Tt = / (X,) от X — г {Qt) как обобщенный дифференциал от е (Kt) для Kt = / (Qt). При этом
П (х) = / (X)? (х), Gv (х) = / (X + Aft (х),
где / (Z) (z) = / (Z (а:)) есть треугольная матрица, которая является аналитической функцией от треугольной матрицы Z (i), представляющей Q((a:) (х) и Q((*)i (z) соответственно как
X (я) ¦= е (Qt(3C) (х)) и X (z) + А (*), Л* {х) = е (&(я) (ас^) — &(зс) (а#)).
Для упорядоченной функции Tt == / (Х„, . . ., А"т() это может быть записано в терминах Xit с дифференциалом dXu = diq (А;) и Z; = Х; + А; как
dTt = di‘0 (/ (Zj, . . ., Zm) — / (Хь . . Xm)).
В частности, если все треугольные оператор-матрицы {Х;, Z;} коммутируют, то можно получить экспоненциальную функцию Tt = exp {Х(} для Xt —
VI
— S как решение следующего квантово-стохастического неадаптивного
! - 1
дифференциального уравнения:
(3.2) df, = di‘ IT (S — 1)1, Tu = /,
f 1
где S (x) — exp j ^ Aj(;r)f. Теперь мы займемся изучением проблемы реше-
4 = 1 ’
ния общего линейного квантово-стохастического уравнения типа (3.2), которое соответствует интегральному уравнению
(3.3) Tt = ?0 + i'o (ТА')
для Т*0 = / и А1 (х) = S (z) — 1 (х), не зависящих от t. Здесь в общем случае Т10 — заданная функция от t 6= IR+ со значениями в непрерывных операторах —> 'S_, А' (х) ~ [А‘ (.г)^*] — треугольная матричная функция от
х ЕЕ X, A1 (x)t ¦= 0 при р. = -|- или v = — и ненулевыми значениями в непрерывных операторах
А+ (х) : Э+ —> А0 (х): Э+ ® Жх —> (х) Жх,
А°+ (х): S+ — (х) Жх, А» (х) :$+®Жх~>
например, Т(0 = Тои„, А1 (х) = А (х) (C7‘l(x) (х) I (я)), где {U[ | t > s е R+} — заданное двухпараметрическое семейство эволюционных операторов на &+. Прежде всего докажем следующую лемму.
Лемма 3. Пусть оператор-функции
Т*0 = е (К), А‘ (х)Ч, . г (Ll (х?))?г“
шляются представлениями (2.2) ядерных функций A’q (<а). L*(Xv, v), где ы =-
— (со\‘). (0^ GE ЗС, г = (Ov), tiy ЕЖ1, ж v — элементарные таблицы (1,7). Тогда интегральное уравнение (3.3) является операторным представлением Tt -- г (Kt) треугольной системы рекурсивных уравнений
98 В. П. БЕЛАВКИН
где оператор-ядра L*x (со) определяются почти всюду (при попарно-непересе-кающихся Wv SE SC) как Lx (со) = Lx («?, со \ acv), если х ЕЕ (о“, и Ьх (со) = О,
если х ф j__| tov, и КцХ)-Ьх — ядерное произведение. Решение уравнения (3.4)
однозначно определено почти всюду (при t (х) Ф t (х'), Ух Ф х' Е=\_____1 Wv)
как сумма
А, (со) = 2 Mt (%, о> \ X) = vo К Мt)
Х—ы*
хронологических ядерных произведений
(3.5) Мх (х, ») = ¦ • • LxXZl• L*J <Х U »)
no разбиениям X = I_____! • • • !_J xm таблиц x = (Xv) на элементарные таблицы вида (1.7). соответствующие xt ЕЕ Xv ^ . Оио описывает един-
ственное решение уравнения (3.3) в виде обобщенного многократного интеграла
Tt = li (В,), Bt (х) = е (М, (х)),
если представление Bt (х) произведений (3.5) удовлетворяет условию || Bt ||р (v) < оо для некоторых допустимых функций р ЕЕ: и у-1, s-1 ЕЕ 5°о*
Доказательство. Подставим в (3.3) Т‘0 = г (К‘0), А* (х) ~
— е (Z,' (д:)) и Tf ~ е (Kt) и учтем, что Т (х) А' (х) — е (Kt(x) (x)-L' (х)), где К, (х) = [Kt (x)vl — треугольная матрица Kt (х)$ =.0, Уц v с ненулевыми элементами-ядрами К, (х, и)_ = К, (и) = К (х, и)+, Kt (х, и)? = = К, (х* U и), ц ф +, \ф —, и L* (i) = W (х%1 1} (xt = 0, У ix > v, а элементы L1 (х, и) = 0 = Ь‘ (х, и)+, х ф [_J V (x)v = L*x (act) определяются точно так же ядрами Llx (со) = IJ (х, о> \ х), Ьх (со) = 0 при х ф Ф 0)v, v Ф —, как и элементы Kt (х, u)v по ядрам Kt (<о). В ре-
зультате получим, что уравнение (3.3) удовлетворяется, если
к, (») = к*0 И + 2 [#«*) (х) • v (I)]?g> (© \ х) =
v>— !(*)<(
2 2 [^(x)-/>x](x!;u«\*v).
что соответствует уравнению (3.4). Решение этого уравнения для любой таб~ лицы со = (<Ov)v=074° с хронологически упорядоченными элементами представляется как сумма (2.6) от хронологических произведений (3.5) операторно-значных ядер М( (0, со) = (ю) и Ьх (<о), поскольку
ХЕЮ*
*«(«>)= 2, Mt(x,v>\x) = М,(0,<а)+ 2 М t (х. ® \ х) --
|Х(>1
= л/,(0.со)+ 2 л/,(хU*.®\(xU*)) =
*ём
= ATj(«o)+ 2 2 [AW ?'*](©) = #(«) + 2 №(Х)-^]И.
xsoj^1) лев*
где использовано представление (3.5) в рекуррентном виде
ЛМхи*'”) =--[Af»(*>(a:)-L* (*)]?(5 (X U ») = 1^(0 • ¦(хU X LJ »)•
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 99
Это определяет представление решения Tt — г (Kt) в виде неадаптивного квантово-стохастического иитеграла (1.5) от Bt = е (Mt), поскольку согласно лемме 2 е о Vq = i( о е, если выполняется условие интегрируемости (1.6).
Т еорема 3. Пусть U[ = е (F*) — представления на эволюционного семейства {V*, | t s EH R+}. относительно ограниченных операторно-значных ядер
Vi ( “f “! | : Ж 0 Ж® Ы 0 X® К) -> Ж® Ж® К) 0 Ж® К),
удовлетворяющий условию V3r ¦ V1, -= V\, Vr •< s •< t относительно ядерного произведения (1.2.9) с единицей V{ (со) = /01® (со) и
