Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
*6ЛГ+
представления хронологически упорядоченных произведений Kt (со) =
71
- F (хх) О • • -О F (х„) для [_\Х{ = «о*, где F (Жу) = (х) — матричные
элементы экспоненты ехр {гН (х)}. Вычислим эти элементы, находя по индукции степени Н° = I, Н1 = Н,
'0, Н1 к и1и\' '0, К'
Н2 = о, кк , н"+2 = 0, К,,+2’ н°Гх к
-0. 0, 0 Л 0, 0
В результате получим F = ^ (г'Н)"/л! как треугольную матрицу
п=о
К = о, |i > V, F~_ = / = F++,
F°o - e\ F~ = Щ [(/'« — Г0 — iHl)/H'oH'o\
Fl = [(еШ° - Г0)!Hi] И\, Fl := Но [(е"* - Г0)/Н0\.
Подставляя сопряженные операторы Н0, Н+ в виде Но = F*H°0 - iE\ Н°+ = H°ttF + iE,
где операторы E (x), x Er X, однозначно определены условиями H0 (х) Е (х) = = 0, можно получить следующую каноническую декомпозицию для операторов Lv (х) = Fy (х) — I 0 6!J / (х) унитарной квантово-стохастической
104
В. П. БЕЛАВКИН
эволюции Т,:
Ч- L-
f*l°0f, f*l°0'
fy* к,
-L
4- E*E, E*
— E, 0
in, 0\
, 0, 0 / ’
_ jJS 5! 0 f ® °
где H =--- H^. — F H0F, L0 = exp {(770} — /0. Каждая из этих трех таблиц Lj, i = 1, 2, 3, соответствует псевдоунитарной треугольной матрице F* =
Я *?
= I + Lj, причем эти матрицы коммутируют и р~] F{ — I + 2j Li = F в си-
г=1 ;=1
лу ортогональности Lj. Первая может быть диагонализирована с помощью псевдоунитарного преобразования F^F^, так что
1, F*, — к - -0, 0, 0“
F0 = 0, J, — F , FbL1F0 = 0, 0
-0, 0, 1 _ .0, 0, 0
где К = F*Fi2. Это определяет декомпозицию квантовой стохастической эволюции на три типа:
1) пуассоновская квантовая унитарная эволюция, которая дается диагональной матрицей F, соответствующей Н% = 0, кроме ц, v = 0:
Тt — е (/iff) — /"[{J, <), Ffo, I
: ехр |i ^ A0(cte)} :
где [/’[о, о h] (х) = F°0 (xj) О • • • О (х„) h (Х) для цепи у.' = {-Tj, . . ., хп}, t (*i) <...<< (х„);
2) броуновская квантовая унитарная эволюция, соответствующая Яо~0 = Н+ и 1Н* = Е = Шо, и
3) лебеговская квантовая унитарная эволюция, соответствующая =
= 0 для всех (fi, v) Ф ( —, +):
Tt = е (Kt) = § (i)lxl П Hl(x)dx~exp {i § H~(x)dx\® 1,
ж' *ex л'
где П Щ (*) -= Щ (-Ei) • • • Н; (хп) для х = {^1 < • • • < хп).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[11 Lax М. Quantum noise. Theory of noise soursos // Phys. Rev.— 1966.— V. 145.— P. 110-129.
[2j Hake n H. Laser Theory. — Springer, Berlin — Heidelberg — New York, 1984.
[3) Gardiner C. W., Collett M. J. Input and output in damped quantum systems: quantum statistical differential equations and the mater equation // Phy9. Rev.- 1990,- V. 42,- P. 78-89.
(4] Квантовые случайные процессы и открытые системы.— М.: Мир, 1988.— 222 с, (Математика. Новое в зарубежной науке; Вып. 42.)
|5) А с с а г d i LM Е г i g е г i о A., L е w i s J. I.// Quantum stochastic processes.— 1982,- V. 18.-- P. 97-133.
(61 Колмогоров А. С. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1974,- 120 с.
|7) Диксьмье Дж. С*-алгебры и их представления.-- М.: Наука, 1974,— 400 С ,
[8] X о л е в о А. С. Квантовая вероятность и квантовая статистика // Итоги наукл
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
105-
и техники. Фундаментальные направления.— М.: ВИНИТИ,— 1991.— Т. 83.— С. 5-132.
|9] Б е л а в к и и В. П. Псевдоевклидово представление условноположительных отображений // Матсм. заметки.— 11*91.— Т. 49, вып. 6.— С. 135—137.
(10] Bclavkin V. P. A unified Но formula has the psendo — Poiseon structure dj (г) = = (/ {x + c) — / (x))d.\ // Math. Phys.
|11] Б e л а в к и н В. II. Упорядоченные ?-полукольца и производящие функционалы квантовой статистики. ДАН СССР.— 1987.— Т. 293.— С. 18—21.
(12) В е 1 a v k i n V. P. Kernel Representations of ?-semigroups associated with infinitely devisible states.— Universitat Heidelberg, Preprint Nr. 604, 1990.
}13J Zoltan S. Conditionally Positive Definite Functions and Unitary Group Representation in nj-spaces // Math. Nachr.— 1990,— № 146 — P. 69—75.
J14] Hudson R. L., Parthasarathy K.R. Quantum Ito’s formula and stochastic evolutions// Comm. Math. Phys.— 1984,— № 93,— P. 301—323.
(151 X о л e в о А. С. Квантовое стохастическое исчисление // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.— 1989.— Т. 36.— С. 3—28.
(16) Belavkin V. P. A new form and a ?-algebraic structure of quantum stochastic-integrals in Fock space // Rendicontidel Seminario Matematico e Fisico di Milano.— V. LV III.— P. 177-193.
(17) Б e л а в к и н В. П. Стохастическое исчисление квантовых входных-выходных процессов//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.— М.:: ВИНИТИ, 1989,- Т. 39,— С. 29-67.
(18) Maassen М. Quantum Markov processes in Fock space described by integral kernels // Quantum Probability and Applications II // ed. L. Accardi and W. voa WaJgenfels; Lecture notes in Mathematics.— Berlin: Springer, 1985.
(19) Meyer P. A. Elements de Probabilites Quantiques, Exposes la IV.— Strasbourg: Institute de Mathematique; Universite Louis Pasteur, 1985.
(20) Lindsay М.,Maassen H. An integral kernel approach to noise, in.Quantum Probability and Applications 11 I/E ds. L. Accardi and W. von Waldenfells.— Berlin: Springer, 1988.— P. 192—208.
