Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белавкин В.П. -> "Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах"

Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.

Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах

Автор: Белавкин В.П.
Издательство: РДХ
Год издания: 1992
Страницы: 61
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Скачать: haoticheskiesostoyaniya1992.pdf

199й г, январь — февраль т. 47, вып.. 1 (283)
УСПЕХИ М АТ Е М АТ И Ч Е С К И X Н А У К
УДК 519.248
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ
В. П. Б е л а в к и н
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. Некоммутативная алгебра Ито.................................. 47
Глава 1. Положительные безгранично-делимые функции на ?-полугруппах
и их представлении. Введение.......................................... 52
1.1. Представления условно-положительных функционалов на ?полугруппах................................................................... 53
1.2. Псевдофоковское представление безгранично-делимых состояний ... 60
1.3. Структура нсевдопуассоновских хаотических состояний на ?-алгебрах 68
Глава 2. Некоммутативный стохастический анализ и квантовая немарковская эволюция. Введение................................................... 76
2.1. Неадаптивные стохастические интегралы и дифференциалы в шкалах 77
2.2. Неадаптивная формула Ито квантового стохастического исчисления 86
2.3. Неадаптпвная квантовая эволюция и хронологические произведения 96
Список литературы.......................................................... 104
Введение. Некоммутативная алгебра Ито
Некоммутативный стохастический анализ и исчисление возникли в 80-е годы как результат математического обоснования понятий квантового белого шума и соответствующих «уравнений Ланжевена», обсуждавшихся физиками, начиная с 60—х годов, в связи со стохастическими моделями квантовой отики и радиофизики [1—31. Первые строгие результаты по квантовому стохастическому исчислению принадлежат Хадсону и Партасарати [14], открывшим в 1983 году квантовую форму Ито для операторно-значных интегралов по некоммутирующим каноническим мартингалам М* (t), i —
— 1,2, 3. Последние определяются процессами рождения А+ (t), уничтожения Л_({) и числа квантов N (t) как линейные комбинации
(1) = Л_ - А+, М2 = А_ + А\ М3 = N
в симметричном фоковском пространстве Г {УС) над УС = L2 (!R+) относительно естественной фильтрации Г( = Г (L2 [0, t]), t ЕЕ R+, и вероятностного вектора ЕЕ Г) Г, вакуумного состоянияЕ\XI = (10 | X\z), X Л. t> о
Здесь тройка (Г, .А, Е) есть «квантовое вероятностное пространство» (5), состоящее в общем случае из гильбертова пространства Г, представления некоторой операторной алгебры .А с инволюцией — эрмитовым сопряже-
48 В. П. БЕЛАВКИН
наем X >-*- X* е Л и функционалом математического ожидания Е: Jl —> С. определяемым скалярным произведением нормированного вектора 1 ? Г и вектора Xt, Всякому (классическому) вероятностному пространству (Q, §, Р) 161 отвечает «квантовое», состоящее из комплексного пространства Г = L2 (Q) со скалярным произведением
(/ I h) - $/ {ы)*Н (со)Р (do),
коммутативной алгебры операторов умножения (Х/)(со) = х (со)/ (со) на комплексные $ -измеримые случайные величины х: ?2 -ь С и функционала
(2) Е [X] = J л (м)Р (do) = (1 | X 1),
определяемого вероятностным вектором 1 (со) = 1, Vco ?г ?2. Обратное справедливо лишь в случае коммутативной б*-алгебры .А [71, что указывает на значительно большую общность некоммутативной теории вероятностей, охватывающей также чисто квантовый случай, соответствующей простой алгебре ,А — .'53 (Г) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Г.
Используя описанную аналогию, Хадсон и Партасарати ввели понятие адаптивного (согласованного) квантового процесса как семейства {Х( | t €Е ?Е IR+) операторов в Г (L2 (IR+)), каждый из которых присоединен к подалгебре А1, порождаемой каноническими операторами (э)| я <1 t, ь —
— 1, 2, 3}. При этом инкременты Д(t) = M{(t + At) — Л/4 (/) оказываются коммутирующими с согласованными операторами D], что позволяет
(
ввести квантовые стохастические интегралы Xt = § D\dM{ (з) как пределы
о
интегральных сумм Ито 21 D\AMi (/), где т = ty), Atn --
let
= tn+1 — tn —ь 0 при N -*• оо (здесь и далее используется Эйнштейновское
правило суммирования DtMi — 21 D’Mj). Основываясь на этом подходе,
г>1
в [141 была построена квантовая эволюция как решение линейного стохастического дифференциального уравнения dU( — Ut L dAj, U0 = I с no-
J^it
стоянными ограниченными операторными коэффициентами и некоммутирующими инкрементами d-Aj — dMj, / = 1, 2, 3 и dA0 = di.
Для изучения условий унитарности U* — UJ1 была использована формула Ито
d (Xt*Xt) ---= dX*Xt + X*dXt + dX*dX„
(3)
dX* dXt - dt + DfcibD* dMj = 21 dAjt
i. j. k^o
где произведение квантово-стохастических дифференциалов dXt = 51 DfdAj,
* •* ;^° dXt — 21 D’t dAj определяется таблицей умножения Хадсона — Партаса* J>o
рати
dNdN = dN, dNdA+ = dA\ dAdN = dA_, dA_dA+ = dt
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
49
(другие комбинации равны нулю): с/0 = 0 =• ejfr, для всех i, /, к = 0, 1, 2, 3, а матрицы сг = [с/к], ?, /с = 1, 2, 3, имеют вид
-1 °] < Г° 0 п , г° 0 -п
1 о I С1 = * 0 Oil в2 = о о 1 . о oj U -* oj Ь i oj
10 о от
О О 0.
О 0 lj
Непосредственно проверяется, что трехмерное комплексное пространство 91 векторов а -= (а1, а2, а3) является ассоциативной и инволютивной алгеброй относительно комплексного сопряжения а* = (а1*, а2*, а3*) и композиции
< 1 > 2 3 4 5 6 7 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed