Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белавкин В.П. -> "Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах" -> 16

Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.

Белавкин В.П. Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах — РДХ, 1992. — 61 c.
Скачать (прямая ссылка): haoticheskiesostoyaniya1992.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 28 >> Следующая

Двойственное к Ж+ пространство Ж_ непрерывных функционалов (/ j к) = ^ (f (х) \ к (х)) dx, к ЕЕ Ж+,
определяется как индуктивный предел Ж_ = lim Ж (р) в шкале {Ж (р) j р ЕЕ
?.¦—*о
ЕЕ Зь}_, где 9Ь_ — множество фуикций р : X -*¦ (О, 1J, для которых Ир ЕЕ ЕЕ З5!. Пространство Ж_ таких обобщенных вектор-функций к : х Е= X >->¦ А: (х) ЕЕ Жх можно рассматривать как объединение [J Ж (р) индуктив-
ного семейства гильбертовых пространств Ж (р), р ЕЕ 3>_, с нормами
II к II (р) 1 содержащего в качестве минимального пространство Ж = Ж (1). В расширенной шкале {Ж (р) | /> ЕЕ З5}. где S5 = 3*_ (J получим гель-фандовскую цепочку Ж+ Q Ж (р+) Q Ж С Ж (р ) Q Ж_, где /?+ Е .?!, ЕЕ Ж+ = Ж*_ совпадает с пространством непрерывных относительно
индуктивной сходимости функционалов на Ж_. Аналогично определяется гельфандовская тройка (f+, $, &_) для гильбертовой шкалы {f (р) | р ЕЕ ЕЕ Зь) фоковских пространств # (р) над Ж (р), т. е. пространств квадратично-интегрируемых с весом р (х) - II Р [х) функций / : X ^ / (г) е ж® (х)
со значениями в гильбертовых произведениях Ж® (х) = 0 Жх\
ll/ll (Р) = < S II / (X) It 2Р(х) dXy»<oo.
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
79
Здесь интеграл по всем цепям ](Е^, определяющий спаривание (/ f h) - J (/ (х) ! h (х)) d%. h e f\ на подробней мои;по записывать в виде
оо П
S II / (х) II2 Р (х) d% = 2 S • • • s II / (*i- • • • - хп) II2 П Р (Xi) dxit
n=0 0<(i< <tn<ov i-1
где и-кратные интегралы берутся по симплексным областям Гп = (х ?=
ЕЕ .Y" | < (xj) <. . .< t (?„)}. Аналогично тому, как ото делается в случае X = IR + , t (х) = х, нетрудно установить изоморфизм пространства $ (р) с симметричным или антисимметричным фоковскими пространствами над Ж (р), определяемый изометрией
ОО 71 ^
ll/ll (р) — ....^т.) II2 П P(Xi)dx^ ,
п=В ' (=1
где функции f (xj, . . х„) соответствующим образом продолжены па все
Хп.
Пусть U — (D»)\.Zo:? — четверка функций Dv (х) на X со значениями в непрерывных операторах
(1.1) D~ (х) : f* -> ?... Dl (х) : f+ (g) Жх -> f_ 0 Жх.
D+ (х) : f+-> ® Д, (л-) : ?"+ ® JT,X -> f_,
так что существует р ЕИ ¦9)1 такое, что эти операторы ограничены из §' (р) э в| (р)* CZ $0, где & (р)* = (1/'/»)• Предположим также, что
D+ {х) локально-иптегрируема в смысле
3р е : ц/>; ||(1>, - $ п я; (*) цр d* < оо, V/ < оо,
где Г = {^G X | t (х) < <}^ || D ||„ = sup (И Dh || (/Г1)/1| /г || (/>)} — норма
непрерывного оператора D : $ (р) -> ,f (р)*, определяющего ограниченную эрмитову форму (/ | Dh) на ,f" (р)\ D°0 (х) локально-ограничеиа относительно некоторой строгоположителыюй функции s: 1/s ЕЕ ¦Удн в смысле
3pS#Vll ДоП‘“! (s) =" ess sup {s(x)||D“(.r)||p} < oo, Vt < оо,
ieA'(
где || D ||p — норма оператора f (p) 0 Жх f (p)* (x) Жх и D\ (x). D0 (x) — локально квадратичпо-интегрируемы со строго положительным весом г (х) : Иг ЕЕ Зд 0 в смысле
Зре^Н^^^гХоо, ПЯЛЕНО- vt<>.
где ||D|i(»,(r) = (5 ]|?>(х)ЦХх)^)1/2, ||Z)||p — нормы соответственно опе-х‘
раторов
(х): f (р) -» f (р)* ® Д, (х): f (р) 0 -> § ,(р)*.
80
В. П. БЕЛАВКИН
Тогда для каждого / ЕЕ R+ можно определить обобщенный квантовостохастический интеграл I21I
(1.2) i‘(D) --= $ A(D,dx). A(D, A) = 2 A)
jt Ji.V
как сумму четырех непрерывных операторов (D'i, А) : при
А = X1, являющихся оператор-мерами на Л =Э А со значениями
(1.3а) [А_(/?+, А) Л] (х) =r [Z>+(х) A] (х) dx (сохранение),
л
(1.36) [Aj(#+, А)А](х) = У\ [0+(х) А] (х\х) (рождение),
*еДП*
(1.3с) [Л_ (Dq% A) А)(х) = | [Оо (х)А(х)] (x)dx (уничтожение),
Д
(1.3д) [Л^(/>о, А) Л] (х) = S [?>о(х)А(х)](х\х) (обмен).
хедпх
Здесь А ЕЕ ,^+, X \ х = {х' €= X I х’ Ф х) означает цепь х GE ЗС, в которой уничтожена точка х ЕЕ X- А (х) ЕЕ Жх & &+ есть точечная производная, определяемая для А ЕЕ .f+ почти всюду (ири х и ?Е Ж*) на й? как функция
А (х, о) = A (х[_| и) 5= [а (х) A](v), где операция X Li v означает объединение
о = X U 1 непересекающихся цепей х П v = 0 с попарно сравнимыми элементами. Оператор а (х) А (со) = А (х, to \ хК уничтожающий точки
X = (х,......х„} С ш в цепи и G й', определяет почти всюду (х П 15 = 0)
на ЗС n-точечную производную А (х, «) = А (х (_______( и) как фоковское представ-
ление производной Малливена [49] я-го порядка в этих точках. Свойства непрерывности этого оператора, определяющего изометрическое отображение а : $ + pj —* $ ® § (р), описывает следующая
Лемма 1. Операторы [а (х) А] (и) = А (х (_| v) х ?Е ЗС, определяют проективно-непрерывное отображение а шкалы $ (р), р ЕЕ ZP, в 0
® &(Р)> г 1 ?Е .^о : II ah || (-i-, pj = || А || -[- рj, формально сопряженное
к оператору рождения
[а*/] (.) = ?/ (х. ®>\х)» / е ,f (г) ® ^ ,
ХЕШ
являющемуся сжимающим отображением в пРи Я 5?' —b Р*
Доказательство. Прежде всего установим основную формулу многократного интегрирования
(1-4) $ 2 / (X. ®\х> = В / (X. о) ^Х А>. V/ €= L1 (#*),
XSta
позволяющую определить сопряженный оператор а*. Пусть / (х, и) =
— S (X) h (и) — произведение интегрируемых на ?С комплексных функций
вида g (х) = П g (х), h (и) = II h (х) для любых х, v ЕЕ ЗС. Учитывая *ех see
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed