Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
<§ dy0 5 5 II/(XoLJ X+) II (P) ( S II я (x) lip dxl) II h (y~0 L j Xo) II (P) <*Xo d*+ <
a? r/ scf sc1
< S II / (X U X^) II2 (P) r-1 (xl) rfx^)1/2 II ^0 (X) ll„. * (^*) X
iCl il‘
x ( 5 || A (x u y~o) IP (P) r-1 (Xo) dy;0),/2 <
<stst
< S rfxll/(x)ll(r-M-p)ll^(x)ll ,<(0lU(x)ll(r-1 + p)<
sc*
< ess sup {s (x) || Bl (x) II..., t (О) II / II (r_1 4- P + J?-1) II h || (г-1 + p + O’
к®
1ДО !l«o(Xo)ll .,( (0 (5 S ( S (x)llpdx+)2 r(y0LlX+)dXo ^Х+)1/г- Таким об-
ж1 я* jce
разом, И 'Г, ||в < || В Ц0, ((г, s), где q > r~x -f р -f s~\
II В Нр, ((г, s) = ess sup {s (x) || B0 (x) Up. < (r)> < IIB Up. «(r)-
У.'-*1
Используя определение (1.5) и свойство
S /(ХМХ ==/(0) + § dx J f(x,x)dx,
84 в. II. БЕЛАВКИН
где / (х, %) / (х [_J '/X нетрудно получить
[(7\ - Т0) h] (X) = [(ij (В) - В (0)) h] (х) =
HlrXHx)
= Jdi( 2 S dxT J ^Xo [^ (•*-* > x)MXo Li Xo) +
A’' '«iu *;««**>
-f b (aro', x) * (-r LJ Xo LJ Хо)] (X-) +
mxxnx)
+ 2 ( S J dX^ J ^Xo [ ^ (•*+> x) А (Хо I_____________________________________I Xo) +
+ л (Xo, x) A (X LJ Xo LJ Xo)] (X-) =
= J dr [D~ (x) h + Oo (*) Л (^)l (X) + 2 P+ A + O0 (*) A (a-)] (x\-f)
x* xex*
Следовательно, 71, — T0 = (^v. -К'), гДе ^ (Я, Л) определяются
в (1.3) как операторно-значные меры на X от оиератор-функцнй
НХ,)<Цх)
[Я'-1 (*)/№)= 2 S d%+ S ^Хо (¦*+> %\f (Хо I_ix о)] (Х-)>
x;ux;Ex^t(x) *цх)
ЦХуХНх)
[/^ (х) h] (х) - 2 $ dxi 5 ^Хо (*0* X) А (Хо I_I Хо)] (Х-)>
*;u*;=x-ari<“ м
действующих на / G= if + н iiG (х) ff+. Это может быть записано в терминах (1.5) как Dv(x) -— io (В (хХ)). Благодаря неравенству ||
<|| В И;,, t (г), Vq > Г1 + р + s“* получим || ?Г |]J,Vi < II в II’, <('') к»к
следствие оценки || D+ (х) )|, < || В (х+) j|*lf «*> (г):
^ || D~+ (х) ||, dx < ^ Н В (х+) ||р, t(x) (г) dx .=
х1 к1
= $ dx S II в; (х u х) н;,, «„ (г) dx - 5 II в- (х) II’, ((г) dx — II в; (0) ц‘, t (г)
X( агМх) Х’1
=*\\B\t.,(r) — \\B-+WPMr),
W К (X* X) = 1{ (X LJ Х^) б2 (*;)• Х^ = 0). (X) = j J’ \ф%.
Аналогичным образом можно получить
!||м (г) < I (II Л (4) II*, »(х) (г))2 Г (х) dx)' ^ -С
Xе
S dx“ ( 5 (IIД+ (х • х°) II*. t (О)* ^ (х) dx°),/2 < Н в 1Г-,«(г)>
<
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
85
где
Я+ (Х~* Х°. X) = и (X L! Хо) «.5 (Ул U'/.+)- Хо = (*/ ,
>! Ш II (Г) < ( § (II ? (*о) II" , их) И)2 Г (х) dxf'2 <
X*
< $ dz+ ( $ (II Я- (х+» Хо) lip, t (г))2 г (Хо) dXo)17* < И В Ц*.((г),
где Б" (х+, х0, х) = В (х U Xе) *0 (X; U Хо). Х° - (^ ’ ^) •
Наконец, из || D0 (х) ||ч <; || В (ar0) ||JJt цх) (г) тем же путем получим
II А> И!м (s) < ess sup {s (x) || В (xl) И’,, Цх) (г)) < || В Ц*, t (r),
le.v1
вели q r~l + p -}- s-1, что и завершает доказательство.
Замечание 1. Квантово-стохастический интеграл (1.5), построенный в [50|, как и его однократный вариант (1.2), введенный в [401, определены в явном виде, свободном от требования адаптивности подынтегральных функций В и D. В силу доказанной непрерывности они могут быть аппроксимированы в индуктивной сходимости последовательностью интегральных сумм (В„), ij (Dn), соответствующих простым (ступенчатым) измеримым операторным функциям Вп и &п, если последние индуктивно сходятся к В и D по полипорме (1.0).
В самом деле, если существуют функции г, s : г"1, s_1 ЕЕ 3>0 и р tE 3\ такие, что || Вп — В ||*_t (г) —> 0, то существует и функция q ?Е 3°х такая, что || 4 (Вп — В) ||ч —> 0, а именно q г-1 + Р + s-1 в силу неравенства
(1.8). что означает индуктивную сходимость ig (Вп) —*¦ ц (В) вследствие линейности io- В случае адаптивной функции D (х) в смысле Dv (х) (g(у) (g) h[Hx)) = /*<*> 0 hU(x) или
(x) h) (x) - [D>; (x) h (X[(W1 (x‘<*>), V* GE X,
где h (x[i, x‘) = h (Xf [J X(t). X* LJ Xt* — разбиение цепи x G 30 на X‘ = = {i 6 X I ( (x) <^ t} и Xu = СЕ; X указанная аппроксимация
в классе адаптивных простых функций приводит к определению квантово-стохастического интеграла ij, (D) п смысле И го, данному Хадсоном и Партасарати для случая X = 1R+, t (z) = х как слабого предела интегральных сумм
t П
»о (А.) Л (-*>„, dx) = 2 Dv (*>) (д0-
О г--1
Здесь />„ (х) — D (х,) на зЕ U*, #(+i) — адаптивная аппроксимация для
7J
разбиения |R+ -- на интервалы = \xL, ж,-+1), задаваемого цепью
i=i
з»0 ^ 0 <С <С ••• <С xn-i < хп = оо, и D* (х) Лц (Л) есть сумма операто ров (1.3) с постоянными на А функциями Dv (л), которые поэтому можно вынести за знак интегралов Л^. В частности, при D + 0 — D0 и D0 --
1 (х) g — D+, где 1 — единичный оператор в $ и g (з>) — скалярная локально квадратично-ингегрируемая функция, соответствующая случаю
86
В. П. БЕЛАВКИН
Жх = С, получим определение Ито для винеровского интеграла
( /
(,?) - - \ ? (х) w (dx), ^ g (х) w (dx) = to (D)
о о
по стохастической мере г/г (Д), Д ? ^ на. R+, представленной в ^ операторами w (Д) = Ао (Д) + А* (Д). Отметим также, что многократный интеграл
(1.5) в скалярном случае В (%) — 1 ® Ь (%) определяет фоковское представление обобщенных ядер Маассена — Мейера [32, 33] и в случае
b(x)=f (Xo U Х+) Ш б0 О'о). б0 (х) -= ( 0’ J ^ 0* приводит к многократным стохастическим интегралам (В) = 1*0 (/),
