Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
75
-- (Т1 | т]) ее IR+ для каждого Д ее Л: Цд = ^ dx < оо. Эта ковариация
д
является симметрической лишь в коммутативном (классическом) случае, в противном (квантовом) случае она удовлетворяет соотношению неопределенности
<Яд> <Сд> > S (I, ?)VL Vfl = (а, I), с = (у, ?), |, ? <= Re II для коммутационного соотношения Гейзенберга [яд, сд] = (is (t, |) Цд, 0), соответствующему симплектической форме s (|, ?) == 2 Im (? | ?) на Re Н — = {»l ЕЕ Н | т]* = т|}. Каноническое представление (3.3), определяющее индефинитное представление j (g) = I + i (g) -^-моноида Ж простых функций g : X —> С X Н и соответствующее представление п (g) = г |j® (g)l в пространстве Фока Ж, описывается функциями 1Х (Ь) = 0, fcx (b+) — т]#,
К (b)* = Ti+, 1Х (Ь) = р + <Ti, 6>.
Пример 2. Пуассоновское состояние. Пусть Н — {0} и Ш — X
есть -j—алгебра операторов в К, ограниченных единицей I ЕЕ ,‘й в смысле
УС = В* В з С е R+: (А* С А, А) < с (А* А, А), У Л <=
где А — линейная положительная форма, определяющая I (Ь) = <5, А). Имея в виду конструкцию ГНС, эту форму без ограничения общности можно считать векторной: <J9, Л) = (е | Be), представленной в гильбертовом пространстве К элементом е (ЕЕ К, || е ||2 = </, Л). В коммутативном случае Ж можно отождествить с подалгеброй существенно ограниченных функций Ь : со >-*¦ b (to) G С на измеримом пространстве й с конечной положительной мерой dh массы Я = </, Л), полагая (Вк) (to) = b (со) к (ы) на К =
= L\ (й), и е (о)) = 1, У ы ЕЕ й, так что I (Ь) = § b (to) dh. Безгранично-
делимый функционал <рЛ (Ь) = е<в’ Л;>Мд, отвечающий условно-положитель-ной ^-форме Яд (Ь) = <В, Л) цд относительно эрмитовой операции А if if С — А* Н А*С + С с нейтральным элементом 17 = 0, определяет производящий функционал факториальных моментов пуассоновского хаотического состояния над X с математическим ожиданием <6д> = <5, Л) и конечной ковариацией {Ь*ЬА} = (В*В, Л> ЕЕ 1R+ для каждого Д Е= А:
цд = ^ dx < оо. Эта ковариация является симметрической не только в ком-д
мутативном (классическом) случае [А, С] = АС — С А = 0, но и в случае центрального Л ее X*. Центральная форма <5, Л), описываемая условием <Ы, С], Л) = 0, У^4, С ЕЕ X, определяет a-конечный след на f-алгебре Ж простых функций G : х ЕЕ X *-*- G (х) ЕЕ X с интегральной формой <g) =
•— § <G (х), Л) dx, или <#> = g (х, to) dx dX в случае = L™ (й). В противном случае форма <5, Л) приводит также к соотношению неопределенности
<яд> <с?> > 1 А, С], лу ц2д, VA = А\ С = С\
Каноническое представление (3.3), определяющее индефинитное представление j (g) = I -f i (g) ^-моноида M и соответствующее представление л (g) = е lj® (f)l в пространстве Фока Ж, описывается функциями
ix (b) == J9, кх (Ь*) = В*е, ? (Ь) = efB, lx (b) = efBe,
где е*Ве — (е | Be) = <5, Л).
76
В. П. БГ.ЛАВИИН
ГЛАВА 2
НЕКОММУТАТИВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И КВАНТОВАЯ IIЕМАРКОВСКАЯ ЭВОЛЮЦИЯ
Введение
Некоммутативное обобщение стохастического исчисления Иго. развитое в [31 — 361, дало адекватный математический инструмент изучения поведения открытых квантовых динамических систем, сингулярно взаимодействующих с бозонным квантово стохастическим полем. Квантовое стохастическое исчисление позволило также решить старую проблему описания та ких систем с непрерывным наблюдением и построить квантовую теорию фильтрации, объясняющую непрерывный спонтанный коллапс под действием такого наблюдения 137 — 391. Это дало примеры стохастических неунн гарных, нестационарных и даже неадаптивпых эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве, решение которых требует определить надлежащим образом хронологически упорядоченные квантово стохастические полугруппы и экспоненты операторов путем распространения понятия многократного стохастического интеграла на некоммутирующие объекты.
Здесь мы наметил» решение этой важной проблемы путем развития нового квантово-стохастического исчисления я естественной шкале фоковских пространств, основанного на введенном нами явном определении [40] неадаптивного квантово-стохастического интеграла как некоммутативного обобщения интеграла Скорохода [41], представленного в пространстве Фока. Используя индефинитную b-алгебраическую структуру ядерного исчисления, найденную в первой главе как общее свойство естественного псевдоев-клидова представлении, ассоциированного с безграпичио-делимыми состояниями, мы установил» фундаментальную формулу для стохастического дифференциала функции нескольких некоммутирующих квантовых процессов, дающую некоммутативное и неадаптивное обобщение формулы Ито как основной формулы классического стохастического исчисления. В адаптивном случае эта формула совпадает с известной формулой Хадсона и Партасарати |14| для произведения пары некоммутирующих квантовых процессов. В коммутативном случае ома дает неадаптивное обобщение формулы Ито для классических случайных процессов, полученное недавно в слабой форме классическими стохастическими методами Нуалартом [421 для случая виперовских интегралов. Отметил» также, что классическое стохастическое исчисление и исчисление операторов в фоковских шкалах разрабатывались группой Хида, Куо, Страйт и Потхоф [43. 441, а также Березанским и Кондратьевым [451.
