Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
оо
4 (Я = 2 S ••• $ f (x1,...,xTI)w(dxl)...w(dx„)
n=0 0Ct,< <ln<l
от обобщенных функций /ЕЕ IJ ('). т- е- к распределениям Хида [43,
44] от винеровской меры w (Д), представленной как й> (Д). Таким образом, построен общий некоммутативный аналог распределений Хида, свойства которого описывает следующее
Следствие 1. Пусть оператор-функция В (^) = i (х) М (^) определяется ядром. М : || М ||t (г) ос,
М ( Х:’ \ ) : Ж® (Xo LJ Ъ) - (Xo U Xl).
\Х+> у о!
где
= \ d/.+ (S d^ ess sup {s (xq) 1| M (x) II)2 r (x+1_1 Xo))* 2
* i i *"i 0 t
SO1 SC1 y0S зс
для осс;л t EE (R+ u некоторых r (yj Ц i (~i), s (у,) Ц я (a); r'1, s_1 EE ;J°Q.
Тогда интеграл (1.5) определяет адаптивное семейство Tt, t ЕЕ 1R+, <7-03-раничекгмя операторов Tt = tJ (Г (х) Af), || Tt ||q || М Ц® (г) для q >
> т~1 + 1 -j- s 1, имеющее адаптивные р-ограниченные квантово-стохастические производные D" (х) = 110('х) (1 (х) М (x’v)).
2.2. Неадаптивная формула ИТО квантового стохастического исчисления
Пусть Ж — некоторое гильбертово пространство 3 (р) — Ж ® & (р), р ЕЕ 3й — гильбертова шкала полных тензорных произведений с пространствами Фока над Ж (р) и 3+ = f| 3 (р), 3 = 3 (1), 3_ = (J 3 (р) — соответствующая тройка Гельфапда 3+ 3_. Мы рассмотрим не обя-
зательно ограниченные операторы Т — е (К) в гильбертовом пространстве 3 = Ж (х) & как «--представления е операторно-значных ядер
/ (о“ w,: \
(2.1) А' 0 „ :^®^®((OoU“o)-^^®^®(№oUM+)-
\ш+ а'о/
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
87
удовлетворяющих условию || К ||р (г) < ос для некоторых г 1 GE л0 и р
G SPi, где
IIК ||р (г) -= § dft»; css sup {|| К (<й) U/р (О'о)}-' г (<D+ !J щ) dto+ do'ff)'/2.
®о
Эго представление е определяется на h ЕЕ Ж 0 f формулой
(2.2) [е (АТ) Л] (х) == V ^А'( I ! ) h (и0 [J о „) d., '0 do>+
о J \Ш+. %}
«о LJ ы+=х
как неадаптивный операторно-значный многократный ин7еграл (1.5) для t = оо от функции в (х) = 8 • 0 К (х), где (6 /] (х) == / (0) ('/,) — вакуумный проектор на f : \В (х) h (xoLJ Хо)1 (tJ = 0 при •//_ 0. Опе-
ратор е (А") можно представить так же, как (адаптивный) интеграл (1.5)
при i = ю от функции В (х) = 1 0 Л/ (х), где 1 — единичный оператор на if. а М (х) — операторно-значное ядро Маассена — Меера, так что
IB (х) h (хо LJ Хо)) (Х-) = М (х) h (хо LI Хо LI Х°) н
/“+' V /“+’ 0,о| , =
Я „ .=У,М . ®Г>о\х).
W- %/ ' ш+. X /
хе«0
связанное с А взаимно-однозначным соответствием
м Iх:' ?*(х:
\Х+> У о/ \х+. ш /
Ы?У0
где /® (и) = 0 /x — единичный оператор в .Ж® (v).
Д J
Согласно следствию 1 j| Т ||ч < || М ||» (г) для q > r~l -f- 1 + s~‘, однако, используя эквивалентное представление (2.2) в виде неадаптивного интеграла (1.5) от В (х) = 0 К (х), и учитывая, что || 60 ||р = 1 при
сколь угодно малом р 0, получим при р —О более точную оценк УII Т Н, <
< II A Uj-i (г) для q ^ г 1 + s 1 = lim (/• 1 + р0 + s ‘). Из нее вытекает предыдущая, поскольку
I So М (х) 0 /® (щ\х) 1 < 2о II м (х) II < (1 + -Т1) (Щ) II м II».
xsa'o xsc>0
где || М ||L = ess sup {s (-/,) Ц М (у,) || }, s (у4)= П s (х), (1 -f s~l) (щ) =
= S s~l (X) = II (1 + s-1 (-)) и, следовательно, || К ||р (*¦) < || М ||» (г)
y,st.'0 *ео0
для р> 1 + 1/s.. Отсюда, в частности, следует существование сопряженного оператора Т*, ограниченного по норме || Т* ||, <; || ||р (/¦) = || А" ||р (г)
как представление
u и / 0)7, о)~ \ (0)7, о)
(2.3) е(А'*)—е(л ), К ( . К
\<о+, ш0
b-сопряженного ядра (о) = К («#')*•
88 в, И. БЕЛАВКИН
В следующей теореме мы докажем, что b-отображение е: К <-*¦ е (К), является операторным представлением b-алгебры ядер К (<>»), удовлетворяющих условию ограниченности
(2.4) I! К ||а :,¦= ess sup {|| К (о.) Ц / П а* («'!)} < оо
•=(»?) >,s?v
относительно произведения четверки а — (a'v)v=o.' + положительных существенно-измеримых функций-произведений (со) - Д (х), ыЕЕЗО,
Последние определяются интегрируемой функцией а" : X IR+, квад-ратично-интегрируемыми с некоторым весом г О, /"> р= функциями a+, а0: X -*¦ (R+ и существенно ограниченной единицей относительно некоторого р ЕЕ № функции а0 : X -*• IR+:
II Ц(1> < of* || a+ H(t) (г) < оо, || «о 11(2> (г) < °°> !1аоНГ><1г
(* , (* 1/2 Ца||(1) = у \a(x)\dx, || а ||<2> (г) == ^ a (х)2 г (х) dx} ,
Half,00* =• ess sup И**1. .
* p(i)
Условная ограниченность (2.4) обеспечивает проективную ограниченность || К ||р (г) со в силу неравенства
IIк Нр (г) < $ d(a~ (ЭД ess suр (|| К ||а П а? (со^/р (f.'o)}* г (“+ U wo) du>°+ d^0 f ",
(• • с* о г* ct ((о)
(2.6) ^ a.7((o)du>^ a+((o)2r(j))dw \| (о)2 г (w) dcoj ess sup Д— Ц К ||a <4
< || Al ||a exp (a+ (.z) 4- r (x) (a+ (j)2 -f (x)2)/2) dx, где учтено, что ^ a (w) du> — exp ^ a (x) dx при a(w) = П a (.«), и
n
ess sup {a0 (w)/p (w)} -- sup ess sup П (ao (Xd/P (xi)) = 1 ПРИ ao P-
“ n xsXn 1
Прежде чем сформулировать теорему, установим, что справедлива Лемма 2. Пусть многократный квантово-стохастический интеграл Т( —- 1о (В) определен в (1.5) ядерной оператор-функцией В (%) ----- г (М (Х)) со значениями в операторах eubd. (2.2), где
Л/ (х, v): Ж @ ДГ® К“ U Хо) ® ЯГ® (*'о U Хо) - Ж ® -^0 К LJ Х<>) ® («I U Х+)
