Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
биноминальную формулу
2 g (X) А (®\Х) •¦= 2 II g (х) П h (х) = П (g (х) + h (х)),
ХЕШ х LJ »=и *ех X&D 1ЕЫ
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
81
а также J / (%) d% = exp { § / (лг) dx} для / (*) = П / (х), получим
хех
$ 2 S(X)h(to\x)dto = e\v§(g(x) + h(x))dx] ^§g(x)h(x>)dx(dv),
XSo>
что доказывает (1.4) на плотном в U (3' X 30) множестве функций-произведений /.
Применяя эту формулу для скалярного произведения (/ (х, и) I h (х, d) е L1 (Я," X «Ж‘), получим
I 2 /(Х.«\Х) | ^(/(х<г,)| MxLHctydv,
" Х650)
т. е. (а*/ | Л) = (/ | а/i), где |а/г] (х, v) = Л (х U т) — h (X LJ и)- Выбирая произвольно / е § (г) (х) f , получим, что оператор уничтожения
а (х) h =¦• [аЛ1 (х, •) определяет изометрпю + -> 0 .f (р)
как сопряженный оператор к а* : & (г) 0 ^ ^ , q ~ ~ -f р,
относительно стандартного спаривания сопряженных пространств (р)
“ f(ir):
SS II* (х. '«)112 '¦"1 (х) Р (v) S 2 IIЛ (<о) |12 г-1 (х) р (w\x) da =
*?u>
= SIIЛ («) II2 2 Г_1 (х) Р («) do) = 5 IIЛ и II2 (г'1 f р) (со) dco.
X и и-=ш
Отсюда следует проективная непрерывность а из $f+ в $f0 X f+, где fo = = П ^ (р), и, в частности, одноточечной производной / (г, г;) = f (х | |
'еЛ 1 • 1
I j и) из ?f + в Ж+ X $f+ как сжимающего отображения $ —V Р^~> § (“) ®
0 (Р)> Vr-1 GE 3"V рб#. Лемма доказана.
Теперь мы готовы доказать индуктивную непрерывность интеграла
(1.2) по D — (Z?v) с помощью неравенства
|| ii (D) К) || (-1.) < || D И*., (г) || Л || (д), V q > r-i f р + s"1,
где || D ||Г.., (г) = || DI ||(\>* + || П\ ||<?,\ (г) + || Щ ||!«( (г) + || D0 H^J (*), которое мы установим сразу для многократпого обобщенного интеграла [50]
(1.5) [1^(ВД(Х)= 2 И (ХУЛ,(Хо LJХ^)](Xl)^Х7^Хо•
°, , ° * Р а* х0 U х+ех х л
Здесь х‘ = X П ЗСг = {х ?= X | X Cl -X'}, сумма берется по разбиениям % = х°- LJ Хо LI xl. для которых Хо е х“ е #'*, В х() ~ оператор-
функция от четверки х = (Xv)v=oi’-r цепей Xv S «Ж*, определяемая почти всюду значениями
82
В. П. БЕЛАВКИН
ограниченными из & (р) в $ (“-j Для некоторого р ЕЕ З’х, так что существуют строго положительные функции г 0, г~1 ЕЕ Зд„ и а 0, s~l 5s0» дли которых
(1.6) II 5 It., (Г) = S ll^;(x)llp.tdx<oof V t<
ОС ,
где 111Г+ (х+) ilk ((г) ¦¦= ( § ^ ess sup (s (хо) 11 В (х) ||р)г г (х+ jj Хо) d'/°+ dy„y !*, и
Va?' x°edr<
S (х) = П * (г), г (X) - п г (х). Отметим, что однократный интеграл (1.2) iej *ех
соответствует случаю
B(4)=W(x), В (х) = 0, VX:SlXv|#l.
И - V
где Xv обозначает одну из элементарных таблиц
"•7) *•' = (?, %)’ 1)' *"(0 0)' ‘= til ?)•
определяемых точкой х ЕЕ А". Как это вытекает из следующей теоремы, функция В (х) может быть определена в интеграле (1.5) с точностью до эквивалентности с ядром В О -==> || В ||р, ( (г) = 0 для всех (ElRt и (неко торых) р, г, s. В частности, можно ее почти всюду определить только для таблиц х = (Xv), дающих разбиения X = [_! Xv пеней х ЕЕ X, т. е. представимых в виде х ~ |______i х, где ж — одна из элементарных таблиц (1.7) с ин-
*ех
дексами р, v для х ЕЕ Xv-
Теорема 1. Пусть В (х) — локально интегрируемая функция в смысле (1.6) для некоторых р, г, s 0. Тогда ее интеграл (1.5) является
непрерывным оператором Тt = 1^ (В) из ,f ь в .} _, имеющим оценку
(1-8) II Г, |1, = sup ||17*^11 И (g)} < И Я Hi., (г)
teT(5) L V <7 // J
для любого q "> г1 -1 /j -1 s~l. Формально сопряженный в # оператор Т\ является также непрерывным из $f+ в интегралом
nb^’
(1.9) .i(B)*=,‘(B% ДЧ Г “ Я
\*+' 3fo/ '/о- о
имеющим оценку \\ (г) = || В |Гр 1 (г). При этом операторно-значная
функция t и-*- 1\ имеет квантово-стохастический дифференциал dTt — di^ (D) в смысле
(1.10) ;;,(//) П( ¦) ¦ *‘0{1))' Щ(х) = $х)(В(*»)),
определяемый квантово-стохастическими производными D — (Лу) с ограни-
' 1 -
ченными почти всюду значениями (1.1) из $ (q) в & | ) :
IIЪ С/ < II в |?. t (г), И D ||<2>( (г) < II В ||р, ((г), II D°o 11^1 (s) < II В11^, (г) для 1) D„ и D = D+, q рэ г-1 -|- р -|- s~l, в виде многократных интегралов
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 83
(1.5) по 1 от точечных производных Й (х, х) = В (х [_J х), г&е ж — одна из четырех элементарных таблиц (1.7) в фиксированной точке х?Е:Х. Доказательство. Используя свойство (1.4) в виде
S 2 /(Х-Хо> Х+)<*Х = SS/(X-./o.X+)
LJ XV=X v
нетрудно получить из определения (1.5) для /,
$(/(X)|[rt*](x))dX-
= J dy~ 'J rfX+S dyо J dy°0(j (Xo 1_|X+) I ^ (x) ^ (Xo 1_1Xo)) ~
r‘ r‘ t‘
= S dy+ S d*+ 5 d?° S dxo(^(x)V'(Xo[Jx+)|MxoLJxo)) -=
i/‘ /* 31* ¦//
--=S([7r/](X)| h(x))db
т. e. T* действует как (.Вt>) в (1.5) с Вb (х) = В (%')*, где (Xv)' = (Х-м)
относительно инверсии — : (—, 0, +)•-*¦(+, 0, —). Более того, это дает
II io (В) ||, = || >о (#l>) ||9. так как || Т ||e = || Т* ||в в силу определения (1.8) д-нормы
sup {I (/ I Th) |/ II / II (q) II A II (q)) = sup { | (T* / | A) \f\\ /1| (q) || A || (q)}. Оценим интеграл (/ | Tth), используя неравенство Шварца
S II / (X) II (Р) II h (X) II (р) 5-1 (х) dx < || / || (s-\ Р) || h II (s~\ р) и свойство (1.4) многократного интеграла, согласно которому
II / II (s'1. Р) = II / II (Р + s-1), IIА II (Г1, Р) = h (s-1 + р): I (/1 Tth) I <
