Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
транспонирования и изменения знака элементов первой строки и первого
столбца (отвечающих индексу 0). Преобразование, обратное (4.7), выглядит
следующим образом:
Свойство (4.11) матрицы преобразования называется псевдоортогональностью.
Оно означает, что 16 матричных элементов Агт (г, т = = 0, 1, 2, 3)
связаны между собой десятью соотношениями (уравнений десять, а не
шестнадцать, так как перемена местами индексов т и г не приводит к новым
равенствам). Следовательно, матрица преобразования Л определяется шестью
независимыми параметрами. Это находится в соответствии с физическими
представлениями о преобразовании Лоренца общего вида, которое задается
шестью параметрами (например, величиной и направлением относительной
скорости и тремя углами, определяющими ориентацию пространственных осей).
Указанные шесть параметров, как и четыре компоненты вектора сдвига ак,
меняются непрерывным образом и в совокупности образуют десять независимых
величин.
Кроме десяти непрерывных параметров, преобразование (4.7) определяется
еще двумя дискретными параметрами, принимающими всего по два значения.
Это следует из равенства (4.11): поскольку определитель произведения
матриц равен произведению определителей, то
х,г = _ afe) = Кк\хк - ак).
(4.14)
(detg)2(det Л)2 = 1,
или
det Л = ±1. Положив в (4.11) г = т = 0, находим
(4.15)
(4.16)
(4.17)
Таким образом, кроме десяти непрерывных параметров преобразования
необходимо задать знак det Л и знак Л°о.
304
Глава 4
Тождественному преобразованию соответствует det Л = +1иЛ°о = +1, и
никакими изменениями непрерывных параметров невозможно изменить знаки
этих величин. Значениям А°о = - 1 и detA = -1 соответствует, в частности,
отражение времени при неизменных координатах (преобразование t' = -t,
xffl = хм). Значениям А°о = - 1, det Л = +1 соответствует, например,
инверсия всех четырех осей, х'к = - хк\ наконец, значениям Л°о = +1, det
Л = - 1 отвечает пространственная инверсия, х tf = t.
Преобразования (4.7) образуют группу1, которая называется группой
Пуанкаре. Преобразования, не содержащие сдвига (ак = 0), также образуют
группу - группу общих преобразований Лоренца. Преобразования с Л°0 ^ 1 и
det Л = 1 образуют шестипараметрическую группу собственных преобразований
Лоренца. ¦
Пример 4.2. Вывести преобразование Лоренца (3.5) на основе общих
соотношений (4.7)-(4.16), полученных в предыдущем примере.
Решение. Преобразования (3.7) соответствуют случаю, изображенному на рис.
3.1, причем t = t' = 0 в момент, когда трехмерные точки О и О' совпадали.
Поэтому в общих формулах (4.7) нужно положить а1 = 0. Обратимся далее к
преобразованиям координат х2 их3. Ввиду совпадения плоскостей (х1, х2) и
(ха, х'2) значению х3 = 0 должно соответствовать х'3 = 0 независимо от
значений х°, х1, х2. Это возможно только, если в линейной связи
х'3 = А30х° + Л3!^1 + А32х2 + Л33ж3,
следующей из (4.7), коэффициенты Л3о = A3i = Л32 = 0. Аналогичные
соображения показывают, что и Л2о = A2i = Л2з = 0. Кроме того, ввиду
равноправия осей х2 и х3 должно быть Л3з = А22 = k(V), т. е.
х'2 = k(V)x2, х'3 = k(V)x3, (4.18)
где указана возможная зависимость коэффициента преобразования к от
относительной скорости. В силу равноправия систем S и S' формулы (4.18)
должны давать обратные преобразования при замене V на - V:
х2 = k(-V)x'2, х3 = k(-V)x'3. (4.19)
Но оба направления V перпендикулярны к плоскости х2х3 и совершенно
равноценны (изотропия пространства!). Поэтому k(-V) = k(V). Переходя
краткие сведения по теории групп см., например, в [Боголюбов и Ширков
(1980)]
4.1. Четырехмерные векторы и тензоры
305
от х2 к х'2 и затем снова к х2, найдем ж2 = k2(V)x2, т. е. к =
±1. Значение к = - 1 отвечает противоположной ориентации
осей х2 и ж'2, поэтому
рисунку 3.1 соответствует только
Л33 = Л22 = к = +1. (4.20)
Теперь записываем равенства (4.7) для к = 0 и 1:
х'° = Л°ож° + Л0!#1, ж'1 = Л10ж° + Л1!#1. (4.21)
Четыре неизвестных коэффициента находим из следующих соотношений:
а) Уравнение плоскости х'1 = 0 в системе S имеет вид х1 = Vt = (Зх°.
Отсюда с помощью (4.21) находим
= -/ЗЛ1!. (4.22)
б) Из уравнений (4.11) при г = 0, т = 1 получаем
Л0оЛ0! - Л^Л1! = О, (4.23)
откуда с помощью (4.22) находим
Л°! = -/3(Л11)2/Л°0. (4.24)
в) Из уравнений (4.11) при г = ш = 0иг = ш = 1 получаем два уравнения:
(Л°о)2 - (Л10)2 = 1, (Л11)2-(Л°1)2 = 1. (4.25)
Из четырех алгебраических уравнений (4.22)-(4.25) вычисляем коэффициенты
преобразования, отбирая положительные значения Л°о и Л1!:
Л°0 = Л1! = 7, Л°1 = Л10 = -/?7- (4-26)
(собственное преобразование Лоренца). ¦
4-тензоры, как и тензоры в трехмерном пространстве, могут по-раз-ному
вести себя при инверсии пространственных координатных осей (см. раздел
1.1). Контравариантным псевдотензором TV-го ранга называется совокупность
4^ величин ргк---\ которые преобразуются при отражениях и поворотах в
четырехмерном пространстве Минковского по правилу
pik...i = |л|Л'тЛ*" ... А1рР,тп-р. (4.27)
