Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
направлением распространения мягкого кванта, а через д2 - угол между р0 и
направлением распространения жесткого кванта. Из закона сохранения 4-
импульса (ср. задачу 3.111) в предложении Нсо\ <С <§Ь? hcoo <С So следует
fe . 1 - ^ cos^i
а С , 2 с 1
(1) cos^2 = --7-г + т--------------------- -•
V0n(uj i) Пи 1 ^n(wi)
3.3. Ответы и решения
299
Отсюда видно, что жесткий черенковский квант Ни 2 распространяется внутри
черенковского конуса, отвечающего мягкому черенковскому кванту с частотой
и\. Угол раствора этого конуса при принятой точности определяется
условием cos$i = c/vqu(ui). Для возникновения жесткого излучения
Вавилова-Черенкова необходимо выполнение неравенства vq > с/п(иi), как и
в случае обычного черенковского излучения. Это возможно только при п(оо\)
> 1. Следовательно, один из квантов должен быть достаточно мягким. Решая
(1) относительно Ни 2, получим
п(ил)у0
--------cos 7/1 - 1
kuJ2 = bw 1----------------------.
1 - ^ COS $2
Максимальное значение энергии hw2 достигается при t?i = $2 - 0:
п(шl)^ - 1
(Hid 2) max - hidi -
-1 _ ^0
С
2hiOi[n(iOi) cosd i - 1]
3.116. Пио2 =
(me2/So)2 + 2(hui/&o)[n(ui) cos$1 - 1] + $2 Максимальное значение foj2
достигается при t9i = $2 = 0. Частные случаи: при <С (тс2)2/hcoi
2
И
тс
2\2
при <§о > (тс2)2/Нио 1
(/iCJ2)max ~ ^О-
Из последнего выражения видно, что жесткий черенковский квант может
уносить большую часть первоначальной энергии ультрарелятивистского
электрона.
3.117. Угол рассеяния принимает дискретные значения, определяемые
уравнением
sin I = mh
2 аРо '
1 _ П1 П2 , Пз а а\ ' а2 аз5
300
Глава 3
3.119. При huo <С So
(qc)2/2i0 riOJ = --------------------------.
(гас /S0) + $ - 2(qc/So)
Энергия Ни тормозного кванта принимает дискретные значения при
фиксированных значениях угла $, так как передаваемый импульс q = 2ттНд
дискретен.
3.120. Согласно результатам задачи 2.56, электростатическая энергия
заряженного шара дается выражением W = ае2 /R, где е - полный заряд шара,
а - численный множитель порядка единицы. Приравнивая W = = тес2, находим
R = ае2/тес2. Величина
2
го = е = 2,8 х 10-13 см тес
называется классическим радиусом электрона. Этот параметр появляется во
многих задачах электродинамики. Однако ему нельзя приписывать буквальный
смысл радиуса элементарной частицы, так как классическая теория, на
основе которой получена его оценка, из-за квантовых эффектов теряет силу
уже на значительно больших расстояниях
Для электрона А = 137го = 3,9х10 11 см. Величина Л называется ком-
итоновской длиной волны.
Глава 4
Вариационный принцип в релятивистской механике и теории поля
4.1. Четырехмерные векторы и тензоры
Преобразования тензоров. При переходе от одной инерциальной системы S' к
другой S контравариантные компоненты 4-вектора преобразуются по правилу
Аг = А \А'К
(4.1)
где матрица (Ад.) преобразования Лоренца частного вида (3.20) (буст вдоль
оси Ох) дается таблицей
АЧ =
/7 /?7 0 0
/?7 7 0 0
0 0 10
V о 0 0 1
(4.2)
Матрицу преобразования часто записывают через параметр ф ("быстроту")
согласно формулам
ch'0 = 7, sh^ = /?7, ch ф - sh ф = 1.
(4.3)
Ковариантные компоненты 4-вектора, согласно (3.21) и (3.18),
преобразуются с другой матрицей:
Аг = Л ikA',.
(4.4)
где
Л, =
( ch ф - sh ф 0 0
- sh ф ch ф 0 0
0 0 10
\ 0 0 0 1
(4.5)
302
Глава 4
Определения (4.1), (4.4) непосредственно обобщаются на тензор любого
ранга. Так, смешанный тензор II ранга представляет собой 16-компонентную
величину Тf (г, к = 0,1, 2, 3), преобразующуюся по правилу
Tik = АГАкпТ,пт (4.6)
Рассмотрению более общих преобразований Лоренца, чем то, которому
отвечают матрицы (4.2), (4.5), посвятим следующий пример.
Пример 4.1. Какой вид имеет наиболее общее линейное преобразование
координат? Какие условия накладывает требование инвариантности интервала
между двумя событиями на коэффициенты преобразования? Сколько независимых
параметров определяют такое преобразование?
Решение. Преобразование имеет вид
хк = Акпх'п + ак, (4.7)
где Лкп,ак - коэффициенты преобразования. Поскольку координаты -
действительные величины, то и коэффициенты преобразования должны быть
действительными. Тождественному преобразованию отвечают значения
Акп = 6к, ак = 0. (4.8)
При Акп = 5к имеем
xk=xfk+ak, (4.9)
откуда следует, что ак - 4-вектор сдвига системы отсчета,
компоненты
которого независимы и произвольны.
Из условия инвариантности малого интервала ds'2 = ds2 находим
gik dx1 dxk = дгкА.гтЛ-кп dx'm dx'n = gmn dx'm dx'n,
откуда
9ik^~ n - Qmn• (4-Ю)
Умножая последнее равенство на gnr, получим
дгкАкпдпгАгт = 5гт. (4.11)
Вспоминая определение обратной матрицы Л-1,
Ani(A~1)im = (A~1)niAim = С, (4.12)
4.1. Четырехмерные векторы и тензоры
303
находим для нее следующее выражение:
(A-1)ni=9ikAkr9rn = Mn.
(4.13)
Обращаем внимание читателя на обратный порядок индексов г и п в правой и
левой частях. Этот факт в совокупности с явным видом метрического тензора
означает, что обратная матрица получается из исходной путем
