Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Этим исчерпываются независимые инварианты тензора электромагнитного поля.
¦
Пример 4.10. Рассмотреть преобразование 4-потенциала, состоящее в
добавлении к нему некоторого 4-вектора fi'. Ai = Ai + fa. Каким свойством
должен обладать вектор fi, чтобы преобразование не изменяло компонент
тензора электромагнитного поля, т. е. напряженностей Е. Н?
Решение. Из условий = dk Ai - di Ak = dkAi - diAk = Fik находим dkfi =
difk. Общее решение последнего уравнения имеет вид Д = = dkf, где / -
произвольная дифференцируемая скалярная функция 4-координат.
Преобразование 4-потенциала
Ai = Ai + dj, (4.73)
оставляющее инвариантным наблюдаемые величины - напряженности поля -
называется калибровочным (градиентным). Оно связано с простым
математическим фактом равенства нулю ротора градиента скалярной функции,
имеющем место как в трехмерном, так и в четырехмерном псевдо-евклидовом
пространстве. Таким образом, электромагнитные потенциалы определяются
неоднозначно.
В трехмерной записи калибровочное преобразование потенциалов имеет вид,
уже найденный в главе 2 (см. (2.103), (2.104)):
V = (P+~%' A = A-Vf. (4.74)
с at
классической электродинамике наблюдаемыми и измеряемыми величинами
являются сила (4.41), действующая на заряженную частицу, или изменение ее
энергии (4.59), а также энергия и поток энергии самого электромагнитного
поля. Все эти величины выражаются через напряженности Е и Н, которые и
могут быть найдены таким путем из эксперимента. Потенциалы Аиср играют
роль вспомогательных функций, из которых напряженности получаются
дифференцированием по формулам (4.57). Теория электромагнитного поля,
позволяющая вычислять тензор Fik, должна быть калибровочно инвариантной,
т. е. ее выводы не должны зависеть от изменений потенциала, вызванных
преобразованием (4.73). Это требование приводит к глубоким
322
Глава 4
следствиям, и не только в классической электродинамике, но и при
построении современных теорий квантовых полей и элементарных частиц.
Рекомендуемая литература: [Бредов и др. (1985)], [Голдстейн (1957)],
[Коткин и Сербо (1977)], [Батыгин и Топтыгин (1970)], [Меллер (1975)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля], [Френкель (1956)], [Айзерман (1974)],
[Новожилов и Яппа (1978)], [Ландау и Лифшиц, Механика], [Фок (1955)],
[Паули (1947)].
Задачи
4.26. Записать в виде таблиц через напряженности Е, Н тензоры Fm и Flk,
дуальные тензору электромагнитного поля.
4.27. Записать инварианты электромагнитного поля с использованием
тензора, дуального тензору i^.
4.28*. В системе S имеется однородное электромагнитное поле Е, Н. Найти
все возможные инерциальные системы отсчета, в которых поле будет обладать
одним из следующих свойств:
а) напряженности становятся параллельными, Ег || Н\ либо антипа-
раллельными;
б) одна из напряженностей обращается в нуль, Е' = 0 или Н' = 0;
в) напряженности становятся взаимно перпендикулярными, Е' _L Н';
г) напряженности становятся одинаковыми по абсолютной величине, Е' =
Н'\
д) обе напряженности обращаются в нуль, Е' = Н' = 0.
Указать, при каких значениях исходных полей Е, Н реализуются эти случаи.
4.29. Бесконечно длинный круговой цилиндр равномерно заряжен с линейной
плотностью к. Вдоль оси цилиндра течет равномерно распределенный ток J.
Найти такую систему отсчета, в которой существует только электрическое
или только магнитное поле. Найти величины этих полей.
4.30*. Записать уравнения Максвелла (2.82)-(2.85) и дифференциальный
закон сохранения электрического заряда (2.47) в ковариантной
четырехмерной форме через тензор электромагнитного поля (4.67).
4.31**. Система дифференциальных уравнений для магнитных силовых линий
вида
(1) dr х Н = 0
не является релятивистски инвариантной и при переходе в другую инерци-
альную систему отсчета не сохраняет своего вида.
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
323
а) Показать, что для полей некоторого специального вида система
уравнений
(2) dr х Н + сЕ dt = О, Е • dr = О
может рассматриваться как релятивистски инвариантное обобщение системы
(1).
б) Выяснить структуру полей, для которых такое обобщение возможно,
путем рассмотрения условий совместности уравнений (2). Сколько
независимых уравнений содержится в системе (2)?
в) Какой вид имеет условие интегрируемости системы (2)?
г) Убедиться в том, что силовые линии, определяемые системой (2),
перемещаются в поперечном направлении со скоростью и = сЕ х Н/Н2, т. е.
являются движущимися даже в случае статических полей.
4.32*. Показать, что релятивистски инвариантная система уравнений для
электрических силовых линий, аналогичная системе (2) предыдущей задачи,
имеет вид
(1) elklmFlmdxk= О
Какие требования налагаются на Е и Н, а также на распределение зарядов и
токов условиями совместности и интегрируемости системы (1)? Как
перемещаются силовые линии, определяемые системой (1)?
4.33. Найти величину ЭДС электромагнитной индукции, возникающей при
движении проводника в магнитном поле Н. Воспользоваться либо формулами
