Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
обозначение Ао = ср, находим функцию Лагранжа для релятивистской частицы,
взаимодействующей с электромагнитным полем:
L = -гас2 д/l - v2/с2 + |v ' А - еср. (4.46)
Здесь в качестве обобщенных координат выступают декартовы координаты
частицы г = (ж, у, z), от которых (а также от времени t) зависят Ап ср.
Нерелятивистское приближение:
L = + %v • А - (4.47)
(постоянная гас2 опущена).
Обобщение на систему частиц:
L = -^2тасV1 - vl/c2 + • Аа - ip^. (4.48)
а а
Через Аа, сра обозначены электромагнитные потенциалы в точке нахождения
частицы без учета поля самой частицы. Время t общее для всех частиц.
Уравнения движения могут быть записаны в лагранжевой форме:
- =п (4 49")
dtdqi % ' ( - j
где qi,qi- обобщенные координаты и скорости (они не обязаны быть 4-век-
торами). Если в качестве обобщенных координат выбраны декартовы
координаты частицы, то уравнение (4.49) можно записать в векторной форме
d_dL_ _ &L _ о (4 50)
dt dv dr ' 1 ' }
где v = г. Ш
Пример 4.5. Вывести уравнение движения заряженной частицы в ре-
лятивистски-инвариантной форме путем варьирования действия (4.45) и
перехода к инвариантной переменной интегрирования - собственному времени
т.
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
315
Решение. Первая вариация действия имеет вид:
(2)
SS = j (^-mcS ds - Ai dxг - | AiS dxl^j .
(i)
Далее вычисляем
5 ds = 5\/dxi dxi = &хг = dx\ ds c
где щ = dxi/dr - 4-скорость частицы, и находим
(2)
SS = j {^-тщ - ^Ai'j S dxг - ^SAi dxг (i)
Пользуясь возможностью перестановки 5 dxг = dSxг и проведя интегрирование
по частям, получим
SS = - (тщ + -Ai)5x
+ J(тс1щ5хг + ^dAiSx* - ^SAidx1). (4.51)
(1) (i)
В фиксированных 4-точках 1 и 2 5хг = 0, поэтому внеинтегральный член
обращается в нуль. Под знаком интеграла производим преобразования:
dui = dAiSxг = ^^-^-drbx1 = ^^ruk dr5хг\
dr dxk dr dxk
SAi dxг = dxk5xl = uk dr5xl.
дхг дхг
Последние два слагаемых объединяем, вводя антисимметричный тензор (ротор
4-потенциала)
Fik = diAk - dkAi, (4.52)
который называется тензором электромагнитного поля. В итоге получаем
вариацию действия в компактной инвариантной записи:
(2) /('
(1)
5S = I ( ~ |Fikuk ) 5хг dr.
316
Глава 4
Приравнивая ее нулю и пользуясь независимостью вариаций дхг, которые
являются функциями инвариантного параметра т, находим уравнение движения:
= ptku\ г = 0, 1, 2, 3. (4.53)
Существует очевидное формальное сходство между релятивистским уравнением
(4.53) и нерелятивистским уравнением Ньютона mi) =
3*. Левая
часть уравнения (4.53) представляет собой произведение массы на 4-
уско-
рение. Правая часть описывает воздействие электромагнитного поля на
частицу и называется четырехмерной электромагнитной силой:
= %Fikuk. (4.54)
Смысл полученного уравнения становится еще более прозрачным, если
переписать его в трехмерной форме. Пользуясь определением 4-скорости,
записываем левую часть при г = 1, 2, 3 в виде -7 dp/dt, где 7 = = 1/д/(1
- v2/с2) - релятивистский фактор. В правую часть введем вместо Ai
трехмерный скаляр cp(r, t) и трехмерный вектор А (г, t), Ai = ((/?, -А),
Аг = ((/?, А). В этих обозначениях имеем следующие отличные от нуля
значения компонент тензора электромагнитного поля:
Fox = Fxq = -7^- ' FXy = Fyx = rotz A,
F0y = -Fy0 = Fxz = -Fzx = roty A, (4.55)
Fn - -F n - - - - - F - - F --rot A
Г Oz - Г zO - с Qt ' Vz - ZV - IULX s±.
Это позволяет записать пространственную часть уравнения (4.53) в виде
<4-5б)
Но производная по времени от импульса равна силе, действующей на частицу.
В электромагнитном поле это должна быть сила Лоренца (4.41). Сравнение
(4.56) с (4.41) позволяет выразить напряженности поля Е, Н через
электромагнитные потенциалы:
Е = -V<p-ldA, H = VxA. с at
(4.57)
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
317
Уравнение движения частицы приобретает ньютоновскую форму
(4.58)
но с релятивистской зависимостью (3.33) импульса от скорости и с силой
Лоренца в правой части. Временная компонента уравнения (4.53) описывает
изменение полной энергии частицы:
Это уравнение не является независимым, оно может быть получено умножением
обеих частей (4.58) скалярно на v. При этом v, dp = d8. Магнитное поле не
производит работы над частицей, так как магнитная сила всегда
перпендикулярна скорости.
Пример 4.6. Пусть уравнение движения релятивистской частицы имеет вид
(ср. с (4.58))
где - сила любой природы (не обязательно электромагнитная). Записать
это уравнение в релятивистски ковариантной форме, введя 4-вектор силы для
произвольного случая.
Решение. Вводим дифференциал собственного времени dr = ~f~1dt и
записываем уравнение движения так, чтобы в левой части был 4-вектор:
(второе уравнение, как и (4.59), не является независимым). Совокупность
величин в правых частях этих равенств образует 4-вектор силы:
где 9 - трехмерная сила, действующая на релятивистскую частицу. Ее можно
выразить через силу, приложенную к частице в ее системе покоя
Пример 4.7. Пользуясь соотношением (4.51), найти функцию Гамильтона
